Series De Fourier

Series de Fourier
Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier. Estas surgieron hist¶oricamente
¶
al resolver por el m¶etodo de separaci¶on de variables un problema de contornode ecuaciones
en derivadas parciales.
Cuando estas f¶ormulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1.753, muchos
matem¶aticos pensaron que era imposible expresar una funci¶on f(x) cualquieracomo suma
de senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encarg¶o de recopilar datos
para convencer al mundo cient¶³¯co de tal posibilidad.
7.1 Series de Fourier
De¯nici¶on 7.1(Serie de Fourier)
Se llama serie de Fourier de una funci¶on f(x) en el intervalo [¡¼; ¼] a:
f(x) =
a0
2
+
X1
n=1
(an cos nx + bn sen nx) (¤)
A los coe¯cientes a0; a1; ¢ ¢ ¢ ; an; b0; b1; ¢ ¢ ¢ ;bn se les llama coe¯cientes de Fourier de
f(x) en [¡¼; ¼].
Debido a que
Z
¼
¡¼
senmx sen nx dx =
(
0 si n =6 m
= 0 si 6 n = m
Z
¼
¡¼
cos nx dx = 0
Z
¼
¡¼
sen nx dx = 0
12 Tema 7.Series de Fourier
Z
¼
¡¼
cosmx cos nx dx =
(
0 si n =6 m
= 0 si 6 n = m
Z
¼
¡¼
senmx cos nx dx = 0
e integrando t¶ermino a t¶ermino en la igualdad (¤) obtenemos:
Z
¼
¡¼
f(x) cos nx dx =an
Z
¼
¡¼
cos
2
x dx = an¼ ) an =
1
¼
Z
¼
¡¼
f(x) cos nx dx
Z
¼
¡¼
f(x) dx =
a0
2
2¼ ) a0 =
1
¼
Z
¼
¡¼
f(x) dx
Z
¼
¡¼
f(x) sen nx dx = bn
Z
¼
¡¼
sen
2
x dx = bn¼ )bn =
1
¼
Z
¼
¡¼
f(x) sen nx dx
Las anteriores propiedades de las funciones sen nx; cosmx se pueden resumir en que
el sistema
f1;sen x;sen 2x; ¢ ¢ ¢ ; cos x; cos 2x ¢ ¢ ¢g
es un sistemaortogonal de funciones respecto del producto escalar
(f(x); g(x)) =
Z
¼
¡¼
f(x)g(x) dx y la serie de Fourier no es mas que la expresi¶on de un
vector f(x) como combinaci¶on lineal de los vectores dela anterior base ortogonal.
De¯nici¶on 7.2 Se llama serie de Fourier de una funci¶on f(x) en el intervalo [¡L; L]
a:
f(x) »
a0
2
+
X1
n=1
µ
an cos
n¼
L
x + bn sen
n¼
L
x
¶
donde a0...