Series de tiempo

Llamamos Serie de Tiempo a un conjunto de mediciones de cierto fenómeno o experimento registradas secuencialmente en el tiempo. Estas observaciones serán denotadas por {x(t1), x(t2), ..., x(tn)} = {x(t) : t T R} con x(ti) el valor de la variable x en el instante ti. Si T = Z se dece que la serie de tiempo es discreta y si T = R se dice que la serie de tiempo es continua. Cuando ti+1 - ti = kpara todo i = 1,...,n-1, se dice que la serie es equiespaciada, en caso contrario será no equiespaciada.
PRIMER PASO AL ANALIZAR CUALQUIER SERIE DE TIEMPO
 
El primer paso en el análisis de series de tiempo, consiste en graficar la serie. Esto nos permite detectar las componentes esenciales de la serie.
 
El gráfico de la serie permitirá:
 
a) Detectar Outlier: se refiere a puntos de laserie que se escapan de lo normal. Un outliers es una observación de la serie que corresponde a un comportamiento anormal del fenómeno (sin incidencias futuras) o a un error de medición.
 
Se debe determinar desde fuera si un punto dado es outlier o no. Si se concluye que lo es, se debe omitir o reemplazar por otro valor antes de analizar la serie.
 
Por ejemplo, en un estudio de laproducción diaria en una fabrica se presentó la siguiente situación ver figura 1.1:
Figura 1.1
Los dos puntos enmarcados en un círculo parecen corresponder a un comportamiento anormal de la serie. Al investigar estos dos puntos se vio que correspondían a dos días de paro, lo que naturalmente afectó la producción en esos días. El problema fue solucionado eliminando las observaciones e interpolando.
 b) Permite detectar tendencia: la tendencia representa el comportamiento predominante de la serie. Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la media a lo largo de un periodo (ver figura 1.2).

Figura 1.2
 
c) Variación estacional: la variación estacional representa un movimiento periódico de la serie de tiempo. La duración de la unidad del periodo es generalmente menor que un año.Puede ser un trimestre, un mes o un día, etc (ver figura 1.3).
 
Matemáticamente, podemos decir que la serie representa variación estacional si existe un número s tal que x(t) = x(t + ks).
 
Las principales fuerzas que causan una variación estacional son las condiciones del tiempo, como por ejemplo:
1) en invierno las ventas de helado
2) en verano la venta de lana
3) exportación de frutaen marzo.
 
Todos estos fenómenos presentan un comportamiento estacional (anual, semanal, etc.)
Figura 1.3
 
d) Variaciones irregulares (componente aleatoria): los movimientos irregulares (al azar) representan todos los tipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea tendencia, variaciones estacionales y fluctuaciones cíclicas.
MODELOS DE DESCOMPOSICIÓN
 
Un modelo clásico para unaserie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia, estacionalidad y un término de error aleatorio.
 
Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados. Estos son:
 
1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t)+ A(t)
 
2. Multiplicativo: X(t) = T(t) · E(t) · A(t)
 
3. Mixto: X(t) = T(t) · E(t) + A(t)
 
Donde:
X(t) serie observada en instante t
 
T(t) componente de tendencia
E(t) componente estacional
A(t) componente aleatoria (accidental)
 
 
Una suposición usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante.
 
Un modelo aditivo (1),es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de otras componentes, como T(t), sí por el contrario la estacionalidad varía con la tendencia, el modelo más adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie

ESTIMACION DE LA TENDENCIA
Hay...