Series numericas

Matemáticas 1 1

Series numéricas

Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación Fundamentos Matemáticos I

Series numéricas

Ob j eti vos 1. 2. 3. 4. Comprender los conceptos de convergencia y divergencia de una serie y su relación con el carácter de la suma parcial n-ésima. Sumar series sencillas mediante ladefinición y descomposición en fracciones simples. Conocer los diferentes criterios de convergencia y saber cuando son aplicables. Comprender la necesidad de obtener aproximaciones de la suma de una serie convergente y saber acotar el error cometido con la aproximación.

Con ten i dos 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Definición. Convergencia. Suma parcial n-ésima. Resto n-ésimo. Propiedades. Series notables:geométrica y armónicas. Criterios de convergencia para series de términos positivos. Criterio de convergencia para series alternadas: Criterio de Leibniz. Convergencia absoluta y condicional. Suma aproximada.

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Profesora: Elena Álvarez Sáiz

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Introducción Imagina el número 1 / 3 se escribe en forma decimalperiódico como donde se entiende que el 3 se repite infinitas veces. Es decir,

1 / 3 = 0,3

1 / 3 = 0,3 + 0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 + ....
que abreviadamente podemos poner como:
n 1 / 3 = ∑ 3 ⋅ ( 0,1)    n =1 ∞

pero, ¿qué significa exactamente la suma infinita? Está claro que no podemos sumar infinitos números. Esta expresión significa que si se suma más y más términos, la suma se vaaproximando cada vez más a 1 / 3 .

Introducción Imagina un cuadrado de lado unidad y considera la suma de las áreas coloreadas

1 1 1 + + + .... 2 4 8
¿A la vista de la figura cuál crees que es el valor de su suma?

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Introducción Realiza los siguientes pasos: Paso 1: Parte deuna figura (triángulo equilátero). Calcula su perímetro P1 y su superficie S1. Paso 2: Divide cada lado de la figura en tres partes iguales, y sobre la parte central de cada lado levanta otro triángulo equilatero. Paso 3: Quita las bases de los triángulos , obtendrás figura (estrella). Calcula su perímetro P2 y su superficie S2 Paso 4: Inicia nuevamente el paso 2 una

Las áreas y los perímetros delas sucesivas figuras vienen dados por las expresiones siguientes considerando: un sumando para la primera figura, dos sumandos para la segunda figura, tres sumandos para la tercera figura , ...

donde L es el lado del triángulo equilátero del que partimos. Prescindiendo del primer sumando de ambas expresiones, el resto de los sumandos, son términos de dos progresiones geométricas. a.- Localizala razón de cada una de ellas. b.- Calcula en cada una de estas progresiones la suma de sus infinitos elementos. Calcula el valor de A (área limite) y el valor de P (perímetro límite). Obtendrás que mientras el área es finita su contorno (frontera) es infinita. ¿No te resulta curioso?

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Puedes obtener más información en las direcciones: http://centros5.pntic.mec.es/~barriope/matematicas/web_taller_0203/mu jeres/adriana/copo.htm http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Algebra/copo_de_nieve/copo_de_nie ve.htm http://www.arrakis.es/~mcj/copo.htm

Sello sueco dedicado a copo de nieve

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RESUMEN TEÓRICO

Definiciones Dada una sucesión infinita de números reales

{an } se define:

∑a
n =1

∞

n

= a1 + a2 + ... + an + ...

Su suma parcial n-ésima es:

S n = a1 + a2 + ... + an
Consideramos la sucesión de sus sumas parciales:
∞

{Sn }n =1 se tendrá:

∞

•

Si

{Sn }n =1 es convergente entonces la serie

∑a
n =1

∞

n...