Series

CAP´ITULO XV.
SUCESIONES Y SERIES
DE FUNCIONES

SECCIONES
A. Campo de convergencia. Convergencia uniforme.
B. Series de potencias. Intervalos de convergencia.
C. Desarrollo de funciones en series de potencias.
D. Aplicaciones al c´alculo infinitesimal.
E. Ejercicios propuestos.

223

A. CAMPO DE CONVERGENCIA. CONVERGENCIA UNIFORME.

Consideramos en este cap´ıtulo sucesiones {fn }cuyos t´erminos son funciones
reales con dominio I com´
un. Para cada x ∈ I, se construye la sucesi´on
num´erica {fn (x)} formada por las im´agenes de las funciones en el punto x.
An´alogamente, se define la serie de funciones
fn como la sucesi´on {Sn }
n≥1
n

de sumas parciales Sn =

fk .
k=1

En lo que sigue nos referiremos a series de funciones pues, aunque son un
caso particularde las sucesiones, nuestro inter´es se centra en el estudio de
las series de potencias (secci´on B) y el desarrollo de funciones en series de
potencias (secci´on C).
fn como el conjunto S de

Definimos campo de convergencia de la serie
n≥1

puntos x ∈ I para los que la serie num´erica

fn (x) converge. As´ı pues, si
n≥1

fn (x), con x ∈ S, se dice que la serie

f (x) =

fnconverge puntualmenn≥1

n≥1

n

fk (x),

te a f . Como sabemos, esto significa que, llamando Sn (x) =
k=1

∀x ∈ S, ∀ε > 0, ∃N ∈ N : |Sn (x) − f (x)| =

fk (x) < ε, ∀n > N,
k>n

donde N depende de ε y de x. Si dicho N es el mismo para todos los valores de
x ∈ S (no depende de x), se dice que la serie
fn converge uniformemente
n≥1

a f en S.
De la definici´on es evidente la siguientepropiedad:
1) Si una serie de funciones

fn converge uniformemente a f , entonces
n≥1

converge puntualmente a f .
Otras propiedades de inter´es son las siguientes:
2) Criterio de convergencia de Cauchy. La serie

fn converge unin≥1

formemente en S si y s´
olo si
k+p

∀x ∈ S, ∀ε > 0, ∃N ∈ N :

fn (x) < ε, ∀k > N, p ∈ N.
n=k+1

224

3) Continuidad. Si una serie defunciones

fn converge uniformemente
n≥1

a f en S y cada fn es continua en x0 ∈ S, entonces f es continua en
x0 .
En s´ımbolos,
l´ım fn (x).

fn (x) =

l´ım

x→x0

n≥1

n≥1

x→x0

4) Derivaci´
on. Sea {fn } una sucesi´
on de funciones derivables en (a, b) y
tal que la serie
fn (x0 ) converge para alg´
un x0 ∈ (a, b). Si la sen≥1

rie

fn converge uniformemente en (a, b),entonces
n≥1

fn converge
n≥1

uniformemente en (a, b) y
fn (x)

fn (x), ∀x ∈ (a, b).

=

n≥1

n≥1

fn converge uniformemente

5) Integraci´
on. Si una serie de funciones
n≥1

a f en un intervalo [a, b] y cada fn es integrable en [a, b], entonces f
es integrable en [a, b] y
x

x

fn (t) dt, ∀x ∈ [a, b].

fn (t) dt =
n≥1 a

a n≥1

Esto se expresa diciendo que unaserie uniformemente convergente se
puede integrar t´ermino a t´ermino. Un m´etodo usual para probar que
una serie es convergente es el siguiente.
fn una serie de funciones tal que

6) Criterio de Weierstrass. Sea
n≥1

|fn (x)| ≤ an , ∀n, ∀x ∈ S, donde

an es una serie num´erica conn≥1

vergente. Entonces

fn converge uniformemente en S.
n≥1

Observaci´
on. El criterio deWeierstrass asegura la convergencia uniforme
y absoluta de una serie de funciones, pero en general ambos conceptos no
son equivalentes.

PROBLEMA 15.1

Determinar el campo de convergencia de la serie
2n senn x.
n≥0

225

Soluci´
on
Aplicando el criterio de la ra´ız, la serie es absolutamente convergente cuando:
l´ım

n

|an | < 1 ⇐⇒ l´ım 2| sen x| < 1 ⇐⇒ | sen x| < 1/2
(6n − 1)π (6n +1)π
, n ∈ Z,
⇐⇒ x ∈
,
6
6

que son los intervalos donde la serie es absolutamente convergente.
En los extremos de cada intervalo, es decir cuando | sen x| = 1/2, donde
el criterio de la ra´ız no decide, quedan las series
1 ´o (−1)n , que son
claramente divergentes.

PROBLEMA 15.2
∞

Hallar el campo de convergencia de la serie
n=1

cos nx
.
enx

Soluci´
on
Descomponemos...