Sistema De Ecuaciones 3X3

Sistema de Ecuaciones de 3x3. Método matricial
Mientras las ecuaciones lineales de dos dimensiones representan rectas, las ecuaciones lineales con tres variables:       ax + by +cz = d ,representan planos.
Para representar un plano se necesitan tres puntos que no estén en la misma recta. Y estos se determinan encontrando tres soluciones de la ecuación a representar.
Ejemplo:
Representargráficamente la ecuación    4x + 3y + 2z = 12
Solución:
 Buscamos tres triplas que satisfagan la ecuación.
Las triplas mas fáciles de encontrar son las correspondientes a los puntos de intersección del plano con cada uno de los ejes. Estas se obtienen al hacer que dos de las tres variables sean cero y resolviendo la ecuación para la otra.

Ubicamos en el eje de tres coordenadas y trazamos el planodeterminado por la ecuación                                          4x + 3y + 2z = 0. Todos los puntos que pertenezcan a este plano son soluciones de la ecuación.

Solución de los sistemas de tres Ecuaciones con tres variables.
En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Cada una de las ecuaciones representa un plano. De acuerdo con las posibles relaciones que se den entre los tresplanos, se determina el tipo de solución que tiene el sistema

                           
 
Teorema de Cramer
 
La regla de Cramer es un método para resolver, mediante el uso de determinantes, sistema de ecuaciones cuadrados, es decir, que contengan el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. El procedimiento se explica para un sistema de ecuaciones de 2 x 2 y de manera análoga sepuede resolver cualquier sistema cuadrado de n x n.
El valor de cada variable es el cociente entre el determinante que se obtiene al sustituir, en el determinante del sistema, la columna de coeficientes de la variable por la columna de los términos independientes, y el determinante del sistema .
A . X = B como A es no singular, premultiplicamos por su inversa
A-1 . ( A . X ) = A-1 . Basociando
( A-1. A) . X = A-1 . B Luego
1 . X = A-1 . B en consecuencia
X = A-1 . B es la única solución del sistema
Resolvemos mediante el teorema de Cramer el siguiente sistema:
x1 + 2 x2 - 2 x3 = - 1
x1 - x3 = - 1
2 x1 - x2 + x3 = 3
 
la matriz de coeficientes es
1 0 -1
A= 1 2 -2
2-1 1
y su inversa será ( ver simulador para determinar la inversa de la matriz ):
y su inversa, determinada por el simulador, es:
0 1/5 2/5
A-1= -1 3/5 1/5
-1 1/5 2/5
 
Como la solución es X = A-1. B, se tiene:
0 1/5 2/5 -1 1
X =-1 3/5 1/5 . –1 = -1
  -1 1/5 2/5 3 0
 
 
 
Entonces: x1=1 ; x2= -1 y x3 = 0
En general:
a11 x + a12 y + a13 z = b11
a21 x + a22 y + a23 z = b21
a31 x + a32 y + a33 z = b31
En el siguiente simulador podrás obtener mediantela regla de Cramer la solución de un sistema de ecuaciones de 3 X 3
 
 
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es Homogéneo si todos los términos independientes son nulos, es decir :
a11 x + a12 y + a13 z = 0
a21 x + a22 y + a23 z = 0
a31 x + a32 y + a33 z = 0
Todo sistema de ecuaciones homogéneo es consistente, ya que una solución es:
x1=x2= ........= xn = 0, esta solución se denomina Solución trivial. En el caso que haya otras soluciones se denomina Solución no trivial
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ver ejercicio 27
 
 
OTrA PaGnA

Dado un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, a él están asociadas dos matrices: A...