Sistemas De Ecuaciones Lineales
Páginas: 32 (7859 palabras)
Publicado: 13 de febrero de 2013
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
1
Definiciones básicas
Definición 1. Sea K = R el cuerpo de los números reales. Una ecuación lineal en variables 1 2 con coeficientes en K = R es una expresión de la forma 1 1 + 2 2 + + = donde los números 1 2 ∈ R y ∈ R es otra constante llamada término independiente. En consecuencia, un sistemalineal de ecuaciones y incógnitas con coeficientes en K = R es un sistema de la forma ⎫ 11 1 +12 2 ++ 1 = 1 ⎪ ⎪ ⎪ 21 1 +22 2 ++ 2 = 2 ⎬ () . . . . . . . . . . . . ⎪ . . . . . . ⎪ ⎪ ⎭ 1 1 +2 2 ++ =
donde los (coeficientes del sistema) y los (términos independientes) son todos números reales y 1 2 son las incógnitas o variables delsistema. Definición 2. Se llama -tupla a un conjunto ordenado de números reales 1 2 , esto es, un elemento (vector) de ⎧⎛ ⎫ ⎞ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎨ 2 ⎟ ⎬ ⎜ ⎟ ) R = R × × R = ⎜ . ⎟ ∈ R ⎪⎝ . ⎠ ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Representaremos las -tuplas con letras en negrita, escribiendo sus componentes en columna o en fila. Por ejemplo, ⎛ ⎞ 1 ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ u = ⎜ . ⎟ o bien u = (1 2 ) si queremos ahorrar espacio. ⎝ . ⎠ . El número se llama -ésimo elemento de la -tupla u 1
Sistemas de ecuaciones lineales de acuerdo a César Rodríguez
Definición 3. Una -tupla s =(1 2 ) ∈ R es una solución del sistema () si al sustituir los números 1 2 por las variables 1 2 se satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones. Se llamasolución general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema y la denotaremos por Nótese que es un subconjunto de R , donde es igual al número de incógnitas del sistema. Ejemplo 1: El sistema − 2 + + − = 2 = 4 ¾
Definición 4. Si un sistema lineal no tiene solución diremos que el sistema es incompatible y si tiene, al menos una solución, diremos que escompatible. En este caso, si el sistema lineal tiene una única solución se dice que es compatible determinado y si tiene infinitas soluciones se llama compatible indeterminado. Un sistema de ecuaciones lineales nunca puede tener un número finito formado por dos o más soluciones. El conjunto de todas las soluciones de un sistema lineal se llama el conjunto solución del sistema o solución general del sistema.Dos sistemas de ecuaciones (con el mismo número de incógnitas) son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Resolver un sistema compatible equivale a encontrar y describir su conjunto solución. Obviamente, este será nuestro objetivo primordial en este tema. Ejercicio 1: Dar una interpretación geométrica de los conjuntos solución de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas,de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas y de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
es un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas y (2 0 0) es una solución. Incluso el alumno puede comprobar que este sistema tiene infinitas soluciones de la forma ⎧⎛ ⎫ ⎞ ⎨ 2 ⎬ = ⎝ ⎠ ∈ R ⎩ ⎭
2
El método de Gauss
El objetivo de esta sección es encontrar todas lassoluciones de un sistema lineal dado. En concreto, dado un sistema lineal se trata de saber si tiene solución o si no la tiene y, en caso afirmativo, investigar cuántas soluciones tiene (una o infinito) y describir cómo son. Para ello introduciremos un algoritmo, llamado el método de Gauss, que va a transformar, paso a paso, el sistema dado en otro sistema equivalente pero que se resuelve fácilmente. Elteorema en el que se basa este método de eliminación gaussiana es el siguiente:
Departamento de Matemáticas, Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
2
Sistemas de ecuaciones lineales de acuerdo a César Rodríguez
Teorema 1. Si un sistema lineal se transforma en otro por medio de alguna de las tres siguientes operaciones elementales de ecuaciones o filas: 1. Intercambiar dos...
1
Definiciones básicas
Definición 1. Sea K = R el cuerpo de los números reales. Una ecuación lineal en variables 1 2 con coeficientes en K = R es una expresión de la forma 1 1 + 2 2 + + = donde los números 1 2 ∈ R y ∈ R es otra constante llamada término independiente. En consecuencia, un sistemalineal de ecuaciones y incógnitas con coeficientes en K = R es un sistema de la forma ⎫ 11 1 +12 2 ++ 1 = 1 ⎪ ⎪ ⎪ 21 1 +22 2 ++ 2 = 2 ⎬ () . . . . . . . . . . . . ⎪ . . . . . . ⎪ ⎪ ⎭ 1 1 +2 2 ++ =
donde los (coeficientes del sistema) y los (términos independientes) son todos números reales y 1 2 son las incógnitas o variables delsistema. Definición 2. Se llama -tupla a un conjunto ordenado de números reales 1 2 , esto es, un elemento (vector) de ⎧⎛ ⎫ ⎞ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎨ 2 ⎟ ⎬ ⎜ ⎟ ) R = R × × R = ⎜ . ⎟ ∈ R ⎪⎝ . ⎠ ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Representaremos las -tuplas con letras en negrita, escribiendo sus componentes en columna o en fila. Por ejemplo, ⎛ ⎞ 1 ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ u = ⎜ . ⎟ o bien u = (1 2 ) si queremos ahorrar espacio. ⎝ . ⎠ . El número se llama -ésimo elemento de la -tupla u 1
Sistemas de ecuaciones lineales de acuerdo a César Rodríguez
Definición 3. Una -tupla s =(1 2 ) ∈ R es una solución del sistema () si al sustituir los números 1 2 por las variables 1 2 se satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones. Se llamasolución general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema y la denotaremos por Nótese que es un subconjunto de R , donde es igual al número de incógnitas del sistema. Ejemplo 1: El sistema − 2 + + − = 2 = 4 ¾
Definición 4. Si un sistema lineal no tiene solución diremos que el sistema es incompatible y si tiene, al menos una solución, diremos que escompatible. En este caso, si el sistema lineal tiene una única solución se dice que es compatible determinado y si tiene infinitas soluciones se llama compatible indeterminado. Un sistema de ecuaciones lineales nunca puede tener un número finito formado por dos o más soluciones. El conjunto de todas las soluciones de un sistema lineal se llama el conjunto solución del sistema o solución general del sistema.Dos sistemas de ecuaciones (con el mismo número de incógnitas) son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Resolver un sistema compatible equivale a encontrar y describir su conjunto solución. Obviamente, este será nuestro objetivo primordial en este tema. Ejercicio 1: Dar una interpretación geométrica de los conjuntos solución de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas,de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas y de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
es un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas y (2 0 0) es una solución. Incluso el alumno puede comprobar que este sistema tiene infinitas soluciones de la forma ⎧⎛ ⎫ ⎞ ⎨ 2 ⎬ = ⎝ ⎠ ∈ R ⎩ ⎭
2
El método de Gauss
El objetivo de esta sección es encontrar todas lassoluciones de un sistema lineal dado. En concreto, dado un sistema lineal se trata de saber si tiene solución o si no la tiene y, en caso afirmativo, investigar cuántas soluciones tiene (una o infinito) y describir cómo son. Para ello introduciremos un algoritmo, llamado el método de Gauss, que va a transformar, paso a paso, el sistema dado en otro sistema equivalente pero que se resuelve fácilmente. Elteorema en el que se basa este método de eliminación gaussiana es el siguiente:
Departamento de Matemáticas, Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
2
Sistemas de ecuaciones lineales de acuerdo a César Rodríguez
Teorema 1. Si un sistema lineal se transforma en otro por medio de alguna de las tres siguientes operaciones elementales de ecuaciones o filas: 1. Intercambiar dos...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.