Sistemas De Ecuaciones UNLP 2015

SISTEMAS
 DE
 ECUACIONES
 

 

 
En
 las
 clases
 anteriores
 hemos
 estudiado
 cómo
 describir
 las
 rectas
 mediante
 ecuaciones
 de
 la
 forma
 
  Ax + By

= C
 
 
 ,
 

donde
  A, B y
  C
 son
 números
 reales
 con
  A
 y
  B
 no
 simultáneamente
 nulos.
 
 
A
 las
 ecuaciones
 de
 la
 forma anterior
 se
 las
 denomina
 ecuaciones
 lineales.
 
Que
 la
 ecuación
  Ax + By = C
 represente
 una
 recta
 significa
 que
 el
 conjunto
 de
 los
 puntos
  ( x, y )
 del
 plano
 que
 la
 
satisfacen
 forman
 una
 recta.
 

 
Pero
 dejemos
 un
 poco
 de
 lado
 tantas
 letras
 y
 veamos
 un
 ejemplo
 concreto:
 

 Consideremos
 la
 ecuación
  3 x − y = 1 ,
 es
 decir
 en
 la
 que
 hemos
 tomado
  A = 3 ,
  B = −1
 y
  C = 1 .
 Como
 dijimos
 esta
 
ecuación
 representa
 una
 recta:
 aquella
 formada
 por
 los
 puntos
  ( x, y )
 del
 plano
 que
 la
 satisfacen.
 
Así
 sabemos
 por
 ejemplo
 que
 el
 punto
  (1, 2)
 pertenece a
 la
 recta
 ya
 que
  3.1 − 2 = 1 .
 Lo
 que
 hacemos
 es
 remplazar
  x
 e
  y
 
por
 los
 valores
 correspondientes
 ( x
 por
 1
 e
  y
 por
 2)
 en
 la
 ecuación
 y
 si
 da
 una
 igualdad
 el
 punto
 satisface
 la
 ecuación
 y
 por
 
lo
 tanto
 pertenece
 a
 la
 recta.
 

⎛ 1 ⎞
, 0 ⎟ también
 pertenecen
 a
 la
 recta
 y
 que
 los
 puntos
  (1,1)
 y
  (0, 2)
 
⎝ 3 ⎠

Del
 mismo
 modo
 sabemos
 que
 los
 puntos
  (0, −1)
 y
  ⎜
no
 pertenecen
 a
 la
 recta
 ya
 que:
 
3.0 − (−1) = 1
 

1
3. − 0 = 1
 
3
3.1 − 1 = 2 ≠ 1
 
3.0 − 2 = −2 ≠ 1
 


 
Bueno,
 pero
 ¿cuántos
 puntos
 del
 plano
 vamos
 a poder
 encontrar
 que
 pertenezcan
 a
 la
 recta?
 Podemos
 contestar
 este
 
pregunta
 considerando
 que
 la
 ecuación
 vincula
 dos
 variables,
  x
 e
  y
 de
 manera
 tal
 que
 podemos
 despejar
 una
 en
 función
 
de
 la
 otra,
 por
 ejemplo
  y
 en
 función
 de
  x .
 Nos
 queda
 así:
 

y = 3x − 1 . 

En
 consecuencia,
 para
 cada
 valor
 real
 de
  x
 obtenemos
 un
 valor
 real
 de
  y .
 
 
Lo
 que
 tenemos
 entonces
 es
 infinita
 cantidad
 de
 puntos
 del
 plano
 de
 la
 forma
  ( x,3 x − 1) que
 satisfacen
 la
 ecuación.
 
 
Gráficamente:
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38 


 


 
Ahora
 bien,
 ¿Qué
 pasa
 si
 junto
 con
 
 la
 recta
 anterior
 consideramos
 una
 recta
 más?
 Gráficamente
 lo
 que
 puede
 pasar
 es
 
alguno
 de
 los
 tres
 casos
 
 siguientes:
 

 
Caso
 1:
 Consideremos
 por
 ejemplo
 
 la
 recta
  3 x − y = 1
 (en
 azul
 como
 antes)
 y
 la
 recta  3 x − y = 4
 (en
 rojo)
 

 

 

 
Las
 dos
 rectas
 son
 paralelas
 y
 por
 lo
 tanto
 nunca
 se
 cortan.
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Caso
 2:
 Consideremos
 por
 ejemplo
 la
 recta 3 x − y = 1
 (en
 azul
 como
 antes)
 y
 la
 recta
  x + y = 2
 
 (en
 verde)
 

 

 

 

 Las
 dos
 rectas
 se
 cortan
 en
 un
 punto
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Caso
 3:
 Consideremos
 por
 ejemplo
 la
 recta 3 x − y = 1
 (en
 celeste)
 y
 la
 recta
 
  6 x − 2 y = 2
 (en
 azul
 punteado)
 

 

 

 

 
Las
 dos
 
 rectas
 son
 coincidentes.
 

 

 

 

 

 ...