successions i matematica financera

Matemàtiques aplicades a les ciències socials

Matemàtiques financeres

Tema 4. Progressions i matemàtica comercial
Successions
Anomenem successió a tota correspondència entre els nombres naturals i un conjunt qualsevol.
Exemples:
1 →
2 →
3 →
4 →
...

gener
febrer
març
abril
...

1 →
2 →
3 →
4 →
...

2
4
6
8
...

Si aquest conjunt d'elements és el dels nombresreals es parla d'una successió de nombres
reals i cadascun dels seus elements s'anomena terme.
Per a denotar els termes d'una successió utilitzem: a1, a2, a3, ... , an, ... on el subíndex indica el
lloc que ocupa el terme en la successió.
L'expressió d'un terme qualsevol d'una successió en funció del lloc que ocupa s'anomena terme
general.
Exemple:
Successió: 3, 6, 9, 12, 15, ....
Termegeneral: an = 3·n
Cas 1. Observa els següents nombres: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Trobes alguna relació entre ells? Si
t’hi fixes, podràs veure que cada nombre és la suma dels dos anteriors. Aquest conjunt de
nombres així ordenats rep el nom de successió de Fibonnaci. Leonardo de Pisa (Fibonnaci),
matemàtic nascut a finals del s.XII a Pisa, és un dels primers introductors del sistema de
numeracióactual (àrab), ja que fins aquell moment s’utilitzava la numeració romana. Fibonnaci va
escriure un llibre Liber Abacci on explicava les regles per sumar, restar, multiplicar i dividir amb la
numeració actual. En ell es planteja el següent problema: “Tenim una parella de conills acabats de
néixer. Si cada parella tarda un mes en poder reproduir-se, cada embaràs dura un mes i en cada
partobtenim una nova parella, quantes parelles tindrem en 12 mesos? “ Aquest problema es resol
fàcilment omplint la següent taula:
Mes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Primera parella
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

Fills

Néts

Besnéts

Rebesnéts

5ena generació

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1
3
6
10
15
21
28
36

1
4
10
20
35
56

1
5
15
35

1
6Total
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144

Fixa’t que el nombre de parelles de conills que hi haurà al finalitzar cada mes és la successió de
Fibonnaci. Al cap d’un any tindrem 144 parelles.

1r Batxillerat

1

Matemàtiques aplicades a les ciències socials

Matemàtiques financeres

Una successió és una llista de nombres que es corresponen amb el conjunt de nombres naturals.Cadascun dels nombres que formen part de la successió s’anomena terme de la successió. Així,
per exemple, en la successió de Fibonnaci, al nombre natural 4 li correspon el terme 3 (perquè en
quart lloc hi trobem el nombre 3). Això ho representem així: a4 = 3. Observa la taula:
Nombre natural (ordre)
Successió (termes)

n
an

1
a1 = 1

2
a2 = 1

3
a3 = 2

4
a4 = 3

5
a5 = 5

6a6 = 8

7
a7 = 13

8
a8 = 21

Cas 2. Observa la següent successió: 400, 200, 100, 50, 25... En aquesta successió cada nombre
és la meitat de l’anterior. Ens pot interessar saber, per exemple, quin nombre trobaríem en el 10è
lloc. Per això podem seguir trobant els successius termes de la successió fins arribar al a10 o
calcular el terme general de la successió (an). El terme general ésl’expressió dels termes de la
successió en funció del lloc que ocupi (n). Per calcular el terme general d’una successió buscarem
la relació entre els diferents termes i l’ordre que ocupen. Ens podem ajudar d’una taula com
l’anterior.
Nombre natural (ordre) n
1
2
3
4
5
Successió (termes)
an a1 = 400 a2 = 200 a3 = 100 a4 = 50 a5 = 25
a1
a1 / 2
a1 / 4
a1 / 8
a1 / 16
a1 / 20
a1 / 21
a1/ 22
a1 / 23
a1 / 24
Per tant, an = a1 / 2n-1. Per saber quin terme trobaríem en el 10è lloc hem de substituir n = 10:
a10 = 400 / 210-1 = 400 / 29 = 0,78125.
1. Troba el terme general de les següents successions:
a) 1, 4, 9, 16, 25, 36 ...
d) 4, 7, 12, 19, 28 ...
1 2 3 4 5
1 4 9 16 25
b)
, , , , ...
e) , , ,
,
...
2 3 4 5 6
2 3 4 5
6
c) 1·2, 2·3, 3·4, 4·5...
f) 2, 5, 10,...