TAREA UNO DE CONTROL MODERNO FIME

Capítulo 3

La Matriz de Transición
3.1

Respuesta natural de un sistema

Es la respuesta que depende solamente de las condiciones iniciales, se obtiene
cuando la entrada al sistema u (t) se hace igual a cero, analíticamente viene dada por:
x_ (t) = Ax (t) + Bu (t)

(3.1)

Donde u (t) = 0: entonces:
x_ (t) = Ax (t)

(3.2)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (3.2)se obtiene:
sX (s) ¡ x (0) = AX (s)

(3.3)

Re-acomodando la ecuación (3.3) se obtiene:
X (s) = (sI ¡ A)¡1 x (0)

(3.4)

La ecuación de salida es
y (t) = Cx (t) + Du (t)

(3.5)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (3.5) (con u (t) = 0) se obtiene:
Y (s) = CX (s) = C (sI ¡ A)¡1 x (0)

3.2

(3.6)

Polinomio característico o ecuación característica

Es elpolinomio que se obtiene al calcular el determinante de la matriz (sI ¡ A) ;
para el caso de sistemas SISO correponde al denominador de la función de transferencia.
sn + a1 sn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an = det (sI ¡ A)

23

(3.7)

24

3.3

Autovalores o eigenvalues de la matriz A
Son las raices de la ecuación característica, en términos de control se denominan

polos
sn + a1 sn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an = 03.4

(3.8)

Matriz de transición

Es la matriz que de…ne la transición de los estados desde un instante t0 hasta un
instante t
n
o
(3.9)
© (t; t0 ) = $¡1 (sI ¡ A)¡1
Lo que implica que

x (t) = © (t; t0 ) x (0)

(3.10)

© (t; to ) = eA(t¡to )

(3.11)

1
1
© (t) = eAt = I + At + A2 t2 + A3 t3 + : : :
2
3!

(3.12)

Donde

Si t0 = 0 se tiene que

Métodos paracalcular © (t) : Existen muchos métodos para hacer este cálculo, a
continuación se presentarán solo algunos de las opciones de solución posibles.

3.4.1

1) Directo
1
1
eAt = I + At + A2 t2 + A3 t3 + : : :
2
3!

(3.13)

Es sencillo de aplicar si se tiene una herramienta numérica, si la expansión es
in…nita, se debe detener y tratar de reconocer las expansiones exponenciales que se formenen cada uno de los elementos de la matriz.
Si la matriz A es nilpotent de orden p; la respuesta es cerrada si la expansión se
hace hasta Ap . Una matriz es nilpotent si a partir de una potencia p, todos los elementos
de la matriz Ap son iguales a cero.

25

3.4.2

2) Calculando la matriz diagonal

Si todos los autovalores de A son diferentes se hace una transformación de similaridadpara obtener
D = TAT¡1

(3.14)

Donde D es una matriz diagonal. La diagonal está formada por los autovalores.
En este cambio se tiene que
x_ (t) = Ax (t)

(3.15)

z_ (t) = Dz (t)

(3.16)

y

Las soluciones homogeneas son:
x (t) = eAt x (0)

(3.17)

¡1

z (t) = eDt z (0) = eTAT

t

z (0)

(3.18)

Lo que implica que
¡1

eDt = eTAT

t

(3.19)

Calculandodirectamente
¡1

eTAT

¡1

eTAT

t

t

¢
¢2
¢3
¡
1¡
1 ¡
TAT¡1 t2 +
TAT¡1 t3 + : : :
= I + TAT¡1 t +
2
3!

¡
¢
¢2
¢3
1 ¡
1¡
= TT¡1 + TAT¡1 t +
TAT¡1 t2 +
TAT¡1 t3 + : : :
2
3!

Debido a que:
¡
¢n ¡
¢¡
¢ ¡
¢
TAT¡1 = TAT¡1 TAT¡1 ¢ ¢ ¢ TAT¡1 = TAn T¡1

(3.20)

(3.21)

(3.22)

Se tiene:

e

TAT¡1 t

µ
¶
1 22 1 3 3
= T I + At + A t + A t + : : : T¡12
3!
¡1

eTAT

t

¡1

= TeAt T

= eDt

(3.23)

(3.24)

Aprovechando las propiedades de los autovalores y autovectores
(¸I ¡ A) x = 0

(3.25)

26

espectro (A) = f¸1 ; ¸2 ; : : : ; ¸n g

(3.26)

Si x es un autovector de A asociado a un autovalor ¸ entonces
x 2 ´ (¸I ¡ A) = nulidad de (¸I ¡ A)
Ejemplo:
Suponga que se desea hallar los autovalores y autovectores de lamatriz:
2
3
0 0 1
A=4 0 1 0 5
3 0 0

Para hallar los autovalores se calcula el determinante de ¸I ¡ A
2
3
¸
0
¡1
¸I ¡ A = 4 0 ¸ ¡ 1 0 5
¡3
0
¸
j¸I ¡ Aj = ¸2 (¸ ¡ 1) ¡ 3 (¸ ¡ 1) = ¸3 ¡ ¸2 ¡ 3¸ + 3

(3.27)

(3.28)

(3.29)

(3.30)

(En MATLAB: CE = poly(A) )
Los autovalores son las raices de j¸I ¡ Aj
¸3 ¡ ¸2 ¡ 3¸ + 3 = 0

(3.31)

Los cuales se calculan en MATLAB...