tema2 continuidad limites

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´ noma de Madrid
Universidad Auto

Tema 2: L´ımites y Continuidad
1.

L´ımites y Continuidad de funciones de una variable

Definici´
on 1 Diremos que la funci´on f tiene l´ımite L cuando x tiende a x0
l´ım f (x) = L

x→x0

si los valores de f(x) se pueden aproximar tanto como queramos a L cuando x est´
a pr´oximo
pero no igual a x0 .
Tambi´en podemos decir que el l´ımite de una funci´on existecuando existen los l´ımites laterales y adem´as estos coinciden:
l´ım f (x) = l´ım− f (x) = L

x→x+
0

x→x0

Propiedades de los l´ımites: Supongamos que l´ımx→x0 f (x) = L y l´ımx→x0 g (x) = M
entonces:
1. l´ımx→x0 f (x) ± g (x) = l´ımx→x0 f (x) ± l´ımx→x0 g (x) = L ± M
2. l´ımx→x0 f (x) · g (x) = l´ımx→x0 f (x) · l´ımx→x0 g (x) = L · M
3. l´ımx→x0

f (x)
g(x)

=

l´ımx→x0 f (x)
l´ımx→x0 g(x)

=L
M

si M 6= 0.

4. l´ımx→x0 Af (x) = A l´ımx→x0 f (x) = AL para todo A ∈ R.
5. l´ımx→x0 [f (x)]r = [l´ımx→x0 f (x)]r = Lr .
6. l´ımx→x0 [f (x)]g(x) = [l´ımx→x0 f (x)]l´ımx→x0 g(x) = LM
Definici´
on 2 Diremos que una funci´on es continua en un punto si se cumplen las condiciones
siguientes:
1. La funci´on est´a definida en x0 , es decir, x0 ∈ Dom (f )
2. l´ımx→x0 f (x) existe
3. f (x0 ) = l´ımx→x0f (x)

Prof. Susana L´opez

2

Por ejemplo la funci´on mostrada en √
el dibujo vemos que es continua en todos los puntos de
su dominio, donde Dom (f )√= {x 6= ± 2}.√Es decir, la gr´afica de esta funci´on presenta dos
rupturas en los puntos x = 2 y en x = − 2, justamente en los puntos donde la funci´on no
est´a definida.

4
2

-3

-2

-1

0

1

x

2

3

-2
-4

y=

1
x2 −2

En otros casos puedeque la funci´on est´e definida en todo punto pero que aun as´ı existan
puntos de discontinuidad como es el caso siguiente. La siguiente funci´on que vemos, est´a definida
en todo punto x ∈ R, sin embargo presenta una discontinuidad de salto en el punto x = 1.
4

3

2

1

-2

f (x) =

-1

½

0

1
x

2

1 − x si x ≤ 1
x2
si x > 1

Cualquier polinomio de grado n est´a definido en todo el conjunto delos n´
umeros reales y
es siempre una funci´on continua.
Teorema 1 (TEOREMA DE BOLZANO)
Si f es continua en [a,b] y f (a)f (b) < 0 entonces existe c∈(a,b) tal que f (c) = 0.
Teorema 2 (TEOREMA DE DARDOUX O DEL VALOR INTERMEDIO)
Si f es continua en [a,b] entonces f toma todos los valores entre f(a) y f(b)
Teorema 3 (TEOREMA DE WEIESTRASS)
Si f es continua en [a,b] entonces f es acotada en [a,b] yalcanza un valor m´aximo y un
valor m´ınimo sobre [a,b].

Prof. Susana L´opez

3

Definici´
on 3 Diremos que la recta y = a es una as´ıntota horizontal de la funci´
on f (x) si:
l´ım f (x) = a

x→∞

o

l´ım f (x) = a

x→−∞

Diremos que x = b es una as´ıntota vertical de f (x) si:
l´ım f (x) = ±∞

x→b

Diremos que la recta y = ax + b es una as´ıntota oblicua de f (x) si:
f (x)
=a
x→∞
x
l´ım

y
l´ım f(x) − ax = b

x→∞

Prof. Susana L´opez
Ejercicios:
1. Calcular los siguientes l´ımites:
√
3
x3 − 27
a) l´ım √
x→3 3 x2 + 6x − 27
√
x5 − a5
b) l´ım √
x→a
x7 − a7
√
√
1+x− 1−x
c) l´ım
x→0
x
x−1
d) l´ım
x→1 |x − 1|
5x
e) l´ım x
x→∞ 3
1020 + x
f ) l´ım 2
x→∞ x − 1
5x
g) l´ım x
x→−∞ 3
µ
¶3x+1/4
6x + 2
h) l´ım
x→∞ 2x − 5
µ
¶x/(x2 +1)
5x − 1
i) l´ım
x→∞
x+4
√
√
j ) l´ım x4 − 2x2 + 5 − x4 + 3x2 − 2x +1
x→∞
µ
¶x
2+x
k ) l´ım
x→0 3 − x
µ
¶(x+2)/(x−1)
3(x − 1)
l) l´ım
x→1 (x − 1)(x + 2)
m)
n)
n
˜)
o)
p)
q)

l´ım (x + 1)1/x
µ
¶x3 −1
3x
l´ım 1 + 2
x→∞
x +1
¶5x2 +1
µ
5x + 4
l´ım
x→∞
5x
µ
¶x/(x3 −1)
3x
l´ım 1 + 2
x→∞
x +1
√
3
x − 8x2 + 17x − 10
√
l´ım
x→5
x2 − 6x + 5
µ 2
¶2x2 +1
x −2
l´ım
x→∞ x2 + 3
x→0

4

Prof. Susana L´opez

5

√
√
x2 + x − 1 − x2 − 2
x→∞
√
x3 − 4x2 + 6x − 4
s) l´ım √ 4
x→2
x −2x3 − 4x2 + 10x − 4
µ
¶2x+1
x−5
t) l´ım 2 −
x→∞
x−3
2
√
u) l´ım √ 2
x→∞
x − 2 − x2 − x − 1
r)

l´ım

2. Dibujar las siguientes funciones y examinar si son continuas:
½
½ x2 −1
x − 3 si x < 2
si x 6= 1
x−1
a. f (x) =
b. f (x) =
2
x
si
x
≥
2
2 si x = 1
⎧
½
1
−
x
si
−1
≤
x
⎨
x2 + 2 si x ≤ 0
x−1
si
−1
<
x
<
1
d.
f
(x)
=
c. f (x) =
2
x − 3 si x > 0
⎩ x1−1
x si
x≥1
2
3. ¿Para que valor de a es continua...