Tema8

Lino Alvarez - Aurea Martinez ———————————— METODOS NUMERICOS

TEMA 8: ECUACIONES
EN DIFERENCIAS
1

CONCEPTOS BASICOS

Una ecuaci´
on en diferencias es una expresi´on del
tipo:
G(n, f (n), f (n + 1), . . . , f (n + k)) = 0,

∀n ∈ Z,

donde f es una funci´on definida en Z.
Si despu´es de simplificar esta expresi´on quedan los t´erminos f (n + k1) y f (n + k2) como el mayor y el menor,respectivamente, se dice que la ecuaci´on es de orden
k = k1 − k2.
Ejemplo 1 .- La ecuaci´on:
5f (n + 4) − 4f (n + 2) + f (n + 1) + (n − 2)3 = 0
es de orden 4 − 1 = 3.

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Una ecuaci´on en diferencias de orden k se dice lineal si
puede expresarse de la forma:
p0(n)f (n+k)+p1(n)f (n+k−1)+. . .+pk (n)f (n) = g(n),
donde los coeficientes pi son funciones definidas en Z.
El caso m´as sencillo es cuando loscoeficientes son constantes pi(n) = ai :
a0f (n + k) + a1f (n + k − 1) + . . . + ak f (n) = g(n).
La ecuaci´on en diferencias se dice homog´
enea en el
caso de que g(n) = 0, y completa en el caso contrario.
Teorema 1 .- Dada la ecuaci´on en diferencias lineal
de coeficientes constantes y de orden k :
a0f (n + k) + a1f (n + k − 1) + . . . + ak f (n) = g(n),
el problema de hallar una funci´on fdefinida en Z,
que verifique la ecuaci´on, y tal que en los k enteros
consecutivos n0, n0 +1, . . . , n0 +k −1 tome los valores
dados c0, c1, . . . , ck−1, tiene soluci´on u
´nica.

Teorema 2 .- Dada una ecuaci´on en diferencias lineal homog´enea de coeficientes constantes y de orden
k entonces, si una soluci´on f en nula en k enteros
consecutivos, es id´enticamente nula.
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Teorema 3 .- Todacombinaci´on lineal de soluciones
de una ecuaci´on en diferencias lineal homog´enea de
coeficientes constantes y de orden k es tambi´en soluci´on de dicha ecuaci´on.
Se llama sistema fundamental de soluciones de
una ecuaci´on en diferencias lineal homog´enea de orden k
a todo conjunto {f1, f2, . . . , fk } de soluciones de dicha
ecuaci´on que verifica para alg´un n0 ∈ Z que la matriz
fundamental esinversible, esto es:
f1(n0)
f2(n0)
f1(n0 + 1)
f2(n0 + 1)
D(n0) =
...
...
f1(n0 + k − 1) f2(n0 + k − 1)

...
fk (n0)
. . . fk (n0 + 1)
= 0.
...
...
. . . fk (n0 + k − 1)

Teorema 4 .- Sea {f1, f2, . . . , fk } un sistema fundamental de soluciones de una ecuaci´on en diferencias lineal. Entonces:
1. D(n) = 0,

∀n ∈ Z.

2. Toda soluci´on de la ecuaci´on homog´enea es combinaci´on lineal de f1, f2, . .. , fk , es decir:
f (n) =

k
i=1

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ci fi(n).

3. Si z(n) es una soluci´on de la ecuaci´on completa,
entonces toda soluci´on de dicha ecuaci´on se puede escribir como la suma de z(n) y de la soluci´on
general de la ecuaci´on homog´enea, esto es:
f (n) = z(n) +

k
i=1

ci fi(n).

Observaci´
on 1 .- Frecuentemente se suele denotar
yn+j = f (n + j),
con lo cual la ecuaci´on en diferencias seescribe:
a0 yn+k + a1 yn+k−1 + . . . + ak yn = gn,

∀n ∈ Z.

Ejemplo 2 .- Hallar la ecuaci´on en diferencias que
satisface la familia de funciones:
f (n) = c1 2n + c2.
n




2 




f (n) = c12 +c
f (n + 1) = 2c12n +c2
f (n + 2) = 4c12n +c2












c1 2n =
f (n + 1) − f (n)
⇒ 

c2 = 2f (n + 1) − f (n + 2)

⇒ f (n) = f (n + 1) − f (n) + 2f (n + 1) − f (n + 2)
⇒ f (n + 2) − 3f(n + 1) + 2f (n) = 0.

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Ejemplo 3 .- Hallar la soluci´on de la ecuaci´on en
diferencias no lineal:
yn yn−1 + yn − yn−1 = 0,

∀n ∈ Z,

que verifica y0 = c.
Despejando yn se tiene:
yn−1
yn =
,
yn−1 + 1

∀n ∈ Z.

Por tanto, sustituyendo:
yn−1
yn−2
y0
yn =
=
= ... =
.
yn−1 + 1 2yn−2 + 1
ny0 + 1
Es decir:
yn =

2

c
.
cn + 1

SOLUCION DE LA ECUACION HOMOGENEA

Sea la ecuaci´on en diferenciaslineal homog´enea de coeficientes constantes y de orden k :
a0f (n+k)+a1f (n+k−1)+. . .+ak f (n) = 0,

∀n ∈ Z.

Buscaremos soluciones del tipo f (n) = rn. Entonces:
rn(a0rk + a1rk−1 + . . . + ak ) = 0
⇒ a0rk + a1rk−1 + . . . + ak = 0.
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Por tanto, r es ra´ız de la ecuaci´
on caracter´ıstica
a0rk + a1rk−1 + . . . + ak = 0.
El estudio de la soluci´on depender´a de si las ra´ıces de la
ecuaci´on...