teorema de existencia

 
 
 
El teorema de Picard-Lindelöf (muchas veces llamado simplemente teorema de Picard, otras teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad) es un resultado matemático de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Establece bajo qué condiciones puede asegurarse la existencia y unicidad de solución de una EDO dado un problema deCauchy (problema de valor inicial).

El teorema debe su nombre al matemático francés Charles Émile Picard y al topólogo finés Ernst Leonard Lindelöf.
[editar]Enunciado general
"Sea , donde  es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de  (interprétese  como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado , podemos encontrarun intervalo cerrado  donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
que cumple que los pares "
De hecho, este  puede ser encontrado de manera explícita, en la demostración se dan detalles de ello.

[editar]Un enunciado más restrictivo
El resultado anterior exige los requisitos mínimos que debe cumplir una función si queremos aplicar el teorema. Añadiendo más condiciones al enunciado original, podemos dareste otro más sencillo: "Sea  una función Lipschitz. Entonces, dados " existe una única solución  del problema de valor inicial
definida ".
[editar]Observación
Es importante observar que el teorema de Picard sólo nos garantiza la existencia y unicidad local de la solución de una EDO. Es decir, más allá del intervalo proporcionado por el teorema (dado que su demostración es constructiva) nopodemos decir nada, en principio, del comportamiento de la solución del problema de valor inicial. Es posible complementar el teorema señalando que existe un intervalo abierto, que llamaremos intervalo maximal en el cual puede garantizarse que la solución existe y es única; fuera de este intervalo, el teorema de Picard no puede aplicarse.
[editar]Demostración
Sea  el cilindro compacto donde  estádefinida, esto es  y . Sea , és decir, el valor de máxima pendiente en módulo. Y finalmente sea  la constante de Lipschtitz de  respecto la segunda variable.
Definimos el siguiente operador entre funciones continuas, el operador de Picard, como sigue:
 dinifido como: .
Vamos a imponer que esté bien definido, es decir, que su imagen sea una función que tome valores en , es decir, que la normade  sea menor que .
 El último paso es imposición, por lo que deberá ser que .
Veamos ahora que el operador de Picard es contractivo bajo ciertas hipótesis sobre  que más adelante podrán ser omitidas.
Dadas dos funciones  queremos:
. Pero como  es Lipschitz respecto la segunda variable tenemos que:
.
Esto es contractivo si  o equivalentemente para tener igualdad si .
Por lo tanto como eloperador de Picard es un operador entre espacios de Banach (en particular espacios métricos inducidos por la norma) y contractivo, por el teorema del punto fijo de Banach, existe una única función  tal que  es decir, solución del problema de valor inicial definida en  donde  debe satisfacer las condiciones dadas, es decir, .
[editar]Optimización del intervalo de la solución
Ahora bien, hay un corolariodel teorema del punto fijo de Banach que nos dice que si un operador  es contractivo para alguna potencia  entonces  tiene un único punto fijo. Intentaremos aplicar este resultado al operador de Picard. Pero antes veamos un pequeño lema que nos será muy útil para aplicar el anterior corolario.
Lema: 
Lo demostraremos por inducción:
Para  ya lo hemos visto, suponemos cierto para  y probemospara :
.
Por lo tanto ahora sí, teniendo esta desigualdad podemos asegurar que para  suficientemente grande, la cantidad  y por lo tanto  será contractivo y por el corolario anterior  tendrá un único punto fijo. Por lo que, finalmente, hemos podido optimizar el intervalo a tomar .
Esto lo que nos dice es que el intervalo de definición de la solución no depende de la constante de Lipschitz...