Teorema de gauss stoke

Cap´ ıtulo 13

Los teoremas de Stokes y Gauss
En este ultimo cap´ ´ ıtulo estudiaremos el teorema de Stokes, que es una generalizaci´n del teorema de Green en cuanto que relaciona la integral de o un campo vectorial sobre una curva cerrada que es borde de una superficie param´trica simple con la integral de su rotacional en dicha superficie; y e tambi´n el teorema de Gauss de la divergencia, quepuede verse como una e versi´n tridimensional del teorema de Green, al relacionar la integral de un o campo vectorial en una superficie cerrada que es borde de un s´lido tridio mensional con la integral de su divergencia en el interior de dicho s´lido. En o realidad estos tres teoremas pueden verse como generalizaciones del segundo teorema fundamental del c´lculo a funciones de varias variables, ya su a vez son casos particulares de una versi´n general del teorema de Stokes para o variedades diferenciables de dimensi´n arbitraria que se estudia en cursos suo periores (para enunciar y demostrar este teorema m´s general se requiere el a desarrollo de una teor´ de formas diferenciales y el uso de particiones diferıa enciables de la unidad, lo que no haremos en este curso por falta de tiempo;el lector interesado puede consultar el libro de Michael Spivak C´lculo en a variedades, editorial Revert´, 1988). e Para enunciar el teorema de Stokes para superficies en R3 necesitamos definir lo que es el rotacional de un campo vectorial. Si F : A → R3 es un campo vectorial de clase C 1 definido en un abierto A de R3 , se define el rotacional del campo F = (P, Q, R), y se denota por rotF , como irotF =
∂ ∂x

j
∂ ∂y

k
∂ ∂z

=

P

Q

R

∂R ∂Q − ∂y ∂z 141

i+

∂P ∂R − ∂z ∂x

j+

∂Q ∂P − ∂x ∂y

k.

142

CAP´ ITULO 13. TEOREMAS DE STOKES Y GAUSS

Teorema 13.1 (de Stokes) Sea S una superficie param´trica simple con e borde ∂S, parametrizada por Φ : D → S, donde D es la regi´n interior a o una curva cerrada simple C regular a trozos en R2 orientadapositivamente, y ∂S = Φ(C) se supone orientada en el sentido que resulte de componer C con Φ. Sea F un campo vectorial de clase C 1 definido en un entorno abierto de S en R3 , y con valores en R3 . Entonces se tiene que rotF · N =
S ∂S

F.

Otra forma de escribir la igualdad de estas integrales es la siguiente: ∂R ∂Q − ∂y ∂z
∂S

dy ∧ dz +

S

∂P ∂R − ∂z ∂x

dz ∧ dx +

∂Q ∂P − ∂x ∂y

dx ∧ dy=

P dx + Qdy + Rdz, (∗)

donde dy ∧ dz, dz ∧ dx, dx ∧ dy denotan, respectivamente, ∂(y, z) ∂(z, x) ∂(x, y) , , y . ∂(u, v) ∂(u, v) ∂(u, v) As´ por ejemplo, ı,
S

∂R ∂Q − ∂y ∂z

dy ∧ dz

equivale a escribir ∂R ∂Q − ∂y ∂z (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∂(y, z) dudv. ∂(u, v)

D

Es interesante observar que cuando S es una regi´n del plano xy encerrada o por una curva cerrada simpleregular a trozos y n = k el teorema de Stokes se reduce a la f´rmula de Green o ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy =
∂S

P dx + Qdy.

S

A´n m´s instructivo resulta constatar que la demostraci´n del teorema de u a o Stokes consiste esencialmente (aparte de c´lculos) en aplicar tres veces el la a f´rmula de Green, como vemos a continuaci´n. o o Demostraci´n del teorema de Stokes: Bastar´ probar las tres igualoa dades siguientes: P dx =
∂S S

−

∂P ∂P dx ∧ dy + dz ∧ dx , ∂y ∂z

143 Qdy =
∂S S

− −
S

∂Q ∂Q dy ∧ dz + dx ∧ dy , ∂z ∂x ∂R ∂R dz ∧ dx + dy ∧ dz , ∂x ∂y

Rdz =
∂S

ya que sum´ndolas obtenemos (∗). Puesto que la demostraci´n de las tres a o f´rmulas es totalmente an´loga, nos contentaremos con probar la primera o a de ellas. Hay que demostrar pues que −
D

∂P ∂(x, y) ∂P∂(z, x) + ∂y ∂(u, v) ∂z ∂(u, v)

dudv =
∂S

P dx

(1)

Denotemos f (u, v) = P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Ahora utilizaremos la f´rmuo la ∂P ∂(x, y) ∂P ∂(z, x) ∂ ∂x ∂ ∂x = f − f , (2) + − ∂y ∂(u, v) ∂z ∂(u, v) ∂u ∂v ∂v ∂u que no es dif´ comprobar (v´ase el ejercicio 13.3). Utilizando esta igualdad ıcil e y el teorema de Green en el primer miembro de (1) obtenemos ∂P ∂(x, y) ∂P ∂(z, x) +...