Teorema De Stokes Y Gauss

´ Leccion

9

Teoremas de Stokes y Gauss
Presentamos a continuación los dos resultados principales del Cálculo Vectorial. Por una parte, el Teorema de Stokes generaliza la fórmula de Green, estableciendo la igualdad entre una integral de línea y una de superficie. Por otra, el Teorema de Gauss, también conocido como Teorema de la Divergencia o Fórmula de Gauss-Ostrogradsky, permite calcularuna integral de superficie mediante una integral triple.

9.1.

Enunciado del Teorema de Stokes

A continuación enunciamos la versión tridimensional de la fórmula de Green, conocida como Teorema de Stokes, que nos permite calcular una integral de línea de un campo vectorial en el espacio mediante una integral de superficie del rotacional del campo. Teorema. Sea γ un camino en R2 , regular atrozos, cerrado y simple, que recorre una curva de Jordan Γ con orientación positiva. Consideremos el recinto W cuya frontera es Γ y sea Φ : W → R3 una parametrización de clase C2 de la superficie S = Φ(W ). Sea finalmente F : Ω → R3 un campo vectorial de clase C1 en un subconjunto abierto Ω de R3 que contenga a la superficie S. Entonces, la integral de línea del campo F a lo largo del camino Φ ◦ γcoincide con la integral de superficie del rotacional de F con respecto a la parametrización Φ: F . dl =
Φ◦γ Φ

rot F . ds

Como ocurría con la Fórmula de Green, la igualdad anterior, al menos en los casos que más interesan en la práctica, puede escribirse con una notación que ayuda a entender su significado al tiempo que nos permite recordar con más facilidad las hipótesis del teorema. Paraexplicarlo con detalle, trabajaremos por separado con los dos miembros de la igualdad. El camino Φ ◦ γ : [a, b] → S está definido en el mismo intervalo que γ, digamos [a, b], y viene dado por [Φ ◦ γ](t) = Φ γ(t) para a t b. Como la curva de Jordan Γ es la frontera del recinto W , el camino Φ ◦ γ recorre la curva Φ(Γ) = Φ(∂W ) que podemos entender como un especie de “borde” de la superficie S y denotar por∂S. Conviene aclarar que ∂S depende de la parametrización Φ y no es en absoluto la frontera de S vista como subconjunto de R3 , simplemente escribimos ∂S = Φ(∂W ) por similitud con S = Φ(W ). 62

8. Teoremas de Stokes y Gauss

63

Pues bien, resulta ahora natural denotar el camino Φ ◦ γ por ∂S+ puesto que recorre la curva ∂S y, aunque no hablamos de la orientación de un camino en R3 , estanotación nos recuerda la orientación positiva de γ, que de alguna manera hace que el camino Φ ◦ γ recorra la curva ∂S en un cierto sentido. Por supuesto, el camino Φ ◦ γop la recorrería en sentido contrario. Con respecto a la integral de superficie que aparece en el teorema, en lugar de la integral con respecto a la parametrización Φ, es natural considerar la integral sobre la superficie S, siempreque ello tenga sentido, es decir, siempre que S sea orientable y admita una parametrización simple y suave. En tal caso la Fórmula de Stokes puede por tanto escribirse en la forma
∂S+

F . dl =
S

rot F . ds

Aparentemente hemos introducido aquí una ambigüedad, al no concretar la orientación de la superficie, pero en realidad esta ambigüedad en el segundo miembro de la fórmula es coherentecon la que también hemos introducido en el primero. Para calcular la integral de superficie debemos usar una parametrización simple y suave Φ , y esa misma parametrización es la que debemos usar para definir el camino ∂S+ = Φ ◦ γ. Intuitivamente, lo que ocurriría si usáramos una parametrización Ψ que definiese una orientación opuesta a la de Φ es que el camino Ψ ◦ γ tendría también sentido contrarioal de Φ ◦ γ, luego tanto la integral de línea como la de superficie cambian de signo al sustituir Φ por Ψ, pero la igualdad entre ellas se mantiene. Finalmente, si consideramos las tres componentes del campo vectorial, escribiendo como siempre F = (P, Q, R) , y usamos las notaciones clásicas para las integrales, la Fórmula de Stokes resulta más explícita: Pdx + Qdy + Rdz =
S

∂S+

∂P ∂R ∂Q...