Teoremas de Stokes y Gauss

´
Leccion

9

Teoremas de Stokes y Gauss
Presentamos a continuación los dos resultados principales del Cálculo Vectorial. Por una
parte, el Teorema de Stokes generaliza la fórmula de Green, estableciendo la igualdad entre una
integral de línea y una de superficie. Por otra, el Teorema de Gauss, también conocido como
Teorema de la Divergencia o Fórmula de Gauss-Ostrogradsky, permitecalcular una integral de
superficie mediante una integral triple.

9.1.

Enunciado del Teorema de Stokes

A continuación enunciamos la versión tridimensional de la fórmula de Green, conocida
como Teorema de Stokes, que nos permite calcular una integral de línea de un campo vectorial
en el espacio mediante una integral de superficie del rotacional del campo.
Teorema. Sea γ un camino en R2 ,regular a trozos, cerrado y simple, que recorre una
curva de Jordan Γ con orientación positiva. Consideremos el recinto W cuya frontera es Γ y
sea Φ : W → R3 una parametrización de clase C2 de la superficie S = Φ(W ). Sea finalmente
F : Ω → R3 un campo vectorial de clase C1 en un subconjunto abierto Ω de R3 que contenga a
la superficie S. Entonces, la integral de línea del campo F a lo largo delcamino Φ ◦ γ coincide
con la integral de superficie del rotacional de F con respecto a la parametrización Φ:
F . dl =
Φ◦γ

rot F . ds
Φ

Como ocurría con la Fórmula de Green, la igualdad anterior, al menos en los casos que más
interesan en la práctica, puede escribirse con una notación que ayuda a entender su significado
al tiempo que nos permite recordar con más facilidad las hipótesis delteorema. Para explicarlo
con detalle, trabajaremos por separado con los dos miembros de la igualdad.
El camino Φ ◦ γ : [a, b] → S está definido en el mismo intervalo que γ, digamos [a, b], y
viene dado por [Φ ◦ γ](t ) = Φ γ(t ) para a t b. Como la curva de Jordan Γ es la frontera
del recinto W , el camino Φ ◦ γ recorre la curva Φ(Γ) = Φ(∂W ) que podemos entender como
un especie de “borde” de lasuperficie S y denotar por ∂S. Conviene aclarar que ∂S depende
de la parametrización Φ y no es en absoluto la frontera de S vista como subconjunto de R3 ,
simplemente escribimos ∂S = Φ(∂W ) por similitud con S = Φ(W ).
62

8. Teoremas de Stokes y Gauss

63

Pues bien, resulta ahora natural denotar el camino Φ ◦ γ por ∂S+ puesto que recorre la curva
∂S y, aunque no hablamos de laorientación de un camino en R3 , esta notación nos recuerda la
orientación positiva de γ, que de alguna manera hace que el camino Φ ◦ γ recorra la curva ∂S
en un cierto sentido. Por supuesto, el camino Φ ◦ γop la recorrería en sentido contrario.
Con respecto a la integral de superficie que aparece en el teorema, en lugar de la integral con
respecto a la parametrización Φ, es natural considerar laintegral sobre la superficie S, siempre
que ello tenga sentido, es decir, siempre que S sea orientable y admita una parametrización
simple y suave. En tal caso la Fórmula de Stokes puede por tanto escribirse en la forma
∂S+

F . dl =

rot F . ds
S

Aparentemente hemos introducido aquí una ambigüedad, al no concretar la orientación de la
superficie, pero en realidad esta ambigüedad en el segundomiembro de la fórmula es coherente
con la que también hemos introducido en el primero. Para calcular la integral de superficie
debemos usar una parametrización simple y suave Φ , y esa misma parametrización es la que
debemos usar para definir el camino ∂S+ = Φ ◦ γ. Intuitivamente, lo que ocurriría si usáramos
una parametrización Ψ que definiese una orientación opuesta a la de Φ es que el caminoΨ ◦ γ tendría también sentido contrario al de Φ ◦ γ, luego tanto la integral de línea como la de
superficie cambian de signo al sustituir Φ por Ψ, pero la igualdad entre ellas se mantiene.
Finalmente, si consideramos las tres componentes del campo vectorial, escribiendo como
siempre F = (P, Q, R) , y usamos las notaciones clásicas para las integrales, la Fórmula de Stokes
resulta más...