Teorema de Gauss

Teorema de Gauss: Descubierto por Karl Friedrich Gauss y también reconocido por Mikhail Ostrogradsky quien publicó sus resultados en 1826. Es gracias al entendimiento de flujos vectoriales a travésde un volumen que se sostuvo dicho teorema. Siendo M, N y R funciones de tres variables x, y, y z, y suponga que tengan primeras derivadas continuas en una bola abierta B en una región R3. Sea S unasuperficie cerrada y suave a trozos contenida en B y sea E la región limitada por S. Si

y N es un vector normal saliente unitario de S, entonces
Este teorema firma que el flujo de F a través dela frontera S de una región E de R3 es la integral triple de la divergencia de F sobre E.

Comprobación: Suponga que . Entonces,


Si n es el vector unitario con dirección saliente de S ,entonces la superficie integral del lado izquierdo del teorema de divergencia es

Por lo tanto, para comprobar el teorema, es suficiente comprobar tan solo las siguientes tres ecuaciones
,
yPara probar la primera de estas 3 ecuaciones nos apoyamos en el hecho que E es una región de tipo 1:

donde D es la proyección de E en el plano-xy. Por esto se obtiene:

y por lo tanto, por elteorema fundamental del cálculo

Entiéndase que la superficie S consiste de tres piezas: un límite superior S1, un límite inferior S2, y posiblemente un límite vertical que los une, S3 tal como semuestra en la figura 1. Nótese que el producto punto de k · n = 0, ya que k es vertical y n horizontal así que sea cual fuese el caso de esta función, su integral será igual a 0 (Stewart, 2012). Poresto que se puede escribir:


La ecuación de S2 es y los vectores unitarios normales n en dirección hacia arriba, por lo que se obtiene:

En la ecuación de S1 ocurre el caso contrario, donde losvectores unitarios se dirigen en dirección hacia abajo, por lo que se obtiene la ecuación

Por lo tanto se obtiene la ecuación

Por lo cual queda comprobado el teorema, siendo así que como
.De...