Teorema De Pi

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUCUMAN

TEOREMA DE 𝝅 (BUCKINGHAM)

FENOMENOS DE TRANSPORTE
FENOMENOS DE TRANSFERENCIA

Bibliografía:
-

Mecánica de Fluidos. Streeter, Wylie, Bedford. Mc Graw Hill, 2009.
Introduction to Fluid Mechanics. Shaughnessy, Katz, Shaffer. Oxford
University Press, 2005.
An Introduction to Fluid Mechanics and Transport Phenomena.
G.Hauke. Springer, 2008.

Magnitudes, unidades y dimensiones
Para describir los fenómenos que nos rodean lo primero que se debe
determinar son las magnitudes que tienen una influencia primordial en el
mismo (“magnitudes útiles”), luego se establecen las relaciones o “leyes”
entre ellas.
Tales relaciones pueden obtenerse directamente de forma
experimental o partiendo de alguna teoría conocida. Otra formaconsiste en
establecer una relación tentativa (que después debe comprobarse o
desecharse con la experimentación) usando el llamado Teorema Pi de
Buckingham, (análisis dimensional) con el cual se logra completar un análisis
matemático de los problemas que surgen en la realidad y reducir costos de
experimentación; esta técnica es muy útil en problemas que surgen en
mecánica, en particular la defluidos.

Procedimiento seguido para analizar un fenómeno

Fenómeno

Análisis
Teórico

Aproximación
Modelado
Matemático
Validación
experimental

Si

Existe
Coincidencia
o suficiente
aproximación

Refinar
Análisis

No

Problema
Se propone determinar experimentalmente la variación de la
presión −∆𝑷 en una cañería de diámetro 𝑫, longitud 𝑳, en la que
circula un fluido con una velocidad 𝒗, densidad 𝝆 yviscosidad 𝝁.

𝑷𝟏

𝑫

𝑷𝟐

𝑳
∆𝑷 = 𝑷𝟐 − 𝑷𝟏
−∆𝑷 = 𝑓(𝑫, 𝑳, 𝒗, 𝝆, 𝝁)
Si tenemos 𝒏 magnitudes 𝒎

𝑓 −∆𝑷, 𝑫, 𝑳, 𝒗, 𝝆, 𝝁 = 0
𝑓 𝒎𝟏 , 𝒎𝟐 , … , 𝒎𝒏 = 0

Para correlacionar los datos experimentales
Determinar la influencia de cada una de las
5 variables en el valor de −∆𝑃,
manteniendo fijos los valores de las 4
variables restantes.
Repetir cada prueba, para al menos 10
valores distintos de la variableindependiente.
−∆𝑷

𝐿, 𝑣, 𝜌, 𝜇 ctes
(una gráfica para
cada uno)
𝑫

Análisis dimensional

Permite agrupar las variables en
parámetros adimensionales los
cuales son correlacionados,
reduciendo el número de
variables
−∆𝑃 𝐿 𝜌.𝑣.𝐷
, ,
𝑣 2 .𝜌 𝐷
𝜇

−∆𝑷
𝒗𝟐 . 𝝆

= 𝑁𝑅𝑒
(𝐿/𝐷)3
(𝐿/𝐷)2
(𝐿/𝐷)1

𝑵𝑹𝒆

Teorema de 𝝅 (Buckingham)
Principio fundamental: la ecuación física es invariante respecto al
sistema de unidades.Definidas f unidades fundamentales 𝝁 : 𝜇1 , 𝜇2 , …, 𝜇𝑓
La ecuación física de 𝒏 variables 𝒎, puede expresarse como
𝒇(𝒎𝟏 , 𝒎𝟐 , … , 𝒎𝒏 ) = 𝟎 y es equivalente a la función expresada en
términos de grupos adimensionales : 𝑭 (𝝅𝟏 , 𝝅𝟏 , …, 𝝅𝒏−𝒓 ) = 𝟎

“El número de grupos adimensionales independientes que se
utilizan para describir una situación física real que involucre a 𝒏
variables es igual a 𝒏 − 𝒓,donde 𝒓 es el rango de la matriz
dimensional”
𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝑵° 𝝅 = 𝒏 − r

𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝝅 = 𝑁° 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
𝒏 = 𝑁° 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝒓 = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

Pasos para la resolución
1) Listar las 𝒏 magnitudes / parámetros / variables físicas involucradas.
−∆𝑃, 𝐷, 𝐿, 𝑣, 𝜌, 𝜇
(𝑛 = 6)
2) Seleccionar las f dimensiones fundamentales en un sistema de unidades
determinado:
f puedeser: (𝑀, 𝐿, 𝜃, 𝑇, 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎)
(Si se elige el sistema mixto de unidades : 𝑀 𝐿 𝜃 𝐹 Debe agregarse entre las
variables a 𝑔𝑐 )
𝑀 𝐿 𝜃

3) Listar las magnitudes en términos de las dimensiones adoptadas.
[−Δ𝑃] = 𝑀 𝐿−1 𝜃 −2
[𝐿] = 𝐿
[𝐷] = 𝐿
[𝜌] = 𝑀 𝐿−3
[µ] = 𝑀 𝐿−1 𝜃 −1
[𝑣] = 𝐿 𝜃 −1

4) Si la matriz de f x 𝒏 elementos que se corresponden con los exponentes de
las f dimensiones de las 𝒏 magnitudesfísicas involucradas en el fenómeno. El
orden de la matriz será f 𝑥 𝒏 y su rango 𝒓 corresponderá al “mayor menor no
nulo” de la matriz, esto es, el mayor orden de la matriz con determinante no
nulo.
Armar la matriz dimensional de f filas y 𝒏 columnas con los exponentes de las
dimensiones de las magnitudes involucradas.
(−∆𝑃) 𝜇 𝐿

𝜌 𝐷

𝑣

1 0
1 0
𝑀  1

𝐿  1 1 1  3 1
𝜃   2

1 0

0

1
0 0 ...