Teorema De Rolle

Teorema de Rolle.

Sea f continua sobre [a, b] , a < b , y diferenciable sobre < a, b > tal que f (a)= 0, f(b)= 0, entonces existe al menos un punto c en < a, b > que satisface f '(c)= 0
Antes de proceder con la demostración interpretaremos geométricamente este teorema. Según las condiciones dadas, la gráfica de f no debe tener esquinas (o vértices) dentro de < a , b > yque para x = a y para x = b la gráfica de f toca al Eje x. Así, es factible tener la figura siguiente.
En el caso de la primera figura existen hasta tres valores para tal c . Note que en esta figura f no es diferenciable en a , pero este hecho no afecta al teorema pues a " < a , b > .

* PRUEBA DEL TEOREMA DE ROLLE :

 Si f(x) = 0 " x " < a , b> [constante], entoncescualquier c " < a , b > es válido pues f `(c) = 0 para todo c " < a , b >.
 Si f(xo) > 0 para algún xo "< a , b >, alcanza su MÁXIMO en algún punto c " [a , b]:
f(c) = máx. ( f(x) / x " [a , b] , pero como f(c) " f(xo) > 0 y f(a) = f(b) = 0 entonces c " a y c " b; así, c " < a , b >. Y como f satisface en < a , b > entonces f ` (c) = 0.
 Si f (xo) < 0 paraalgún xo " < a, b >, f alcanza su MINIMO en algún punto " " [a, b]:
f(c) " f(xo) < 0 ! c " b ! c " < a , b >; y como f satisface en <a , b > entonces: f `(c) = 0 (RECTA TANGENTE HORIZONTAL)
Entonces

NOTA.- En el teorema de Rolle, la condición de continuidad de f en [a, b] es obviamente muy importante, pues asegura que la grafica de f no tenga saltos bruscos dentro de [a , b].Extenderemos el Teorema de Rolle a funciones que no necesariamente tocan al EJE X en ambos extremos de [a , b] y veremos las condiciones para que existan puntos " " < a , b > donde las rectas tangentes sean paralelas al segmento RS que tiene como pendiente:

Si una función es:
Continua en [a, b]
Derivable en (a, b)
Y si f(a) = f(b)
Entonces, existe algún punto c (a, b) en el quef'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.
Ejemplos:

1. Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la función:

En primer lugar comprobamos que la función es continua en x = 1.

En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1.

Como las derivadaslaterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.

2. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 − x2) en el intervalo [−2, 2]?
En primer lugar calculamos el dominio de la función.

La función es continua en el intervalo [−2, 2] y derivable en (−2, 2), porque los intervalos están contenidos en
.
Además secumple que f(−2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

3. Comprobar que la ecuación x7 + 3x + 3 = 0 tiene una única solución real.
La función f(x) = x7 + 3x + 3 es continua y derivable en ·
Teorema de Bolzano.
F (−1) = −1
F (0) = 3
Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (−1, 0).
Teorema de Rolle.
F' (x) = 7x6 + 3
Como la derivada no se anula enningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por tanto sólo tiene una raíz real.
Teorema del valor medio.

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de LaGrange), también llamado teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-LaGrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que esteteorema es el más importante de cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.
El teorema del valor medio:
Sea f es una función continua en [a, b] y derivable...