Teorema del coseno

Teorema del coseno

El teorema del coseno, denominado también como ley de cosenos 1 , es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ,los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.2

El teorema y sus aplicaciones[editar]
Elteorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo es recto o, dicho de otro modo, cuando , el teorema del coseno se reduce a:

que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.
El teorema se utilizaen triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar:
el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:
.
los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:
.
Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto loslados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.
Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'
.
Por el teorema de Pitágoras[editar]
Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo  es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacentea un ángulo agudo y un obtuso.
Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.

Caso 1: c es adyacente a dos ángulos agudos
Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada así:
(left)
Pero, la longitud h también se calcula así:
(left)
Sumando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:

Por la definición de coseno, se tiene:

y por lo tanto:Sustituimos el valor de u en la ecuación para c2, concluyendo que:

con lo que concluye la prueba del primer caso.
Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.

Caso 2: c es adyacente a un ángulo obtuso
Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevamente  pero en este caso . Combinando ambas ecuaciones obtenemos  y de este modo:
.
De la definición de coseno, se tiene  y portanto:
.
Sustituimos en la expresión para , concluyendo nuevamente
.
Esto concluye la demostración. c2 = a2 - b2 - 2b(a cos(γ) - b) Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces sólo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.
Teorema de los senos

Teorema del seno.
En trigonometría, el teorema de los senos1 o también conocido como ley de lossenos 2 es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus respectivos ángulos opuestos.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Teorema de los senos
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces:

Demostración[editar]
A pesar de ser de los teoremas trigonométricosmás usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida.

El teorema de los senos establece quea/sin(A) es constante.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BOhasta cortar la circunferencia, se...