Teoria de conjuntos

INTRODUCCIÓN

La presente investigación se refiere al tema de teoría de conjuntos, que se puede definir como la rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, entodas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas.
Dada la importancia esencial de los conjuntos, la teoría de conjuntos, junto con la lógica, constituye la base fundamental de las matemáticas modernas. En algún lugar especial, de los libros de la teoría axiomática de conjuntos suele darse una explicación de por qué es necesario fundamentar la teoría de conjuntos y dejarla construida a partirde unos cuantos axiomas. Estos axiomas son, en su mayoría, principios evidentes de por sí una vez que se ha comprendido previamente como deben comportarse los conjuntos o, por lo menos, cuando ya se tiene una idea de esto.
Por esa razón, es más que justificable la revisión de una exposición intuitiva de la teoría de conjuntos, como el que incluimos aquí, en donde se expongan unas cuantas cosas,de forma rápida e intuitiva, que familiaricen al lector con los conjuntos, sus relaciones y operaciones; de esta manera el lector no encontrará dificultades mayores a la hora de enfrentarse a la teoría axiomática de conjuntos, donde los principios de los que se parte son formalizaciones y restricciones ad hoc de las propiedades que uno ya le suponía a los conjuntos.

TEORÍA DE CONJUNTOSConceptos básicos:
Conjunto: es una agrupación, de clases o colección de objetos denominados elementos del conjunto, utilizando símbolos aε S representa que el elemento a pertenece o está contenido en el conjunto S, o lo que es lo mismo, el conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S está definido si dado un objeto a, se sabe con certeza que o a \in S o a \notin S (esto es, a no pertenece a S).También, un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre sí, que se llaman elementos del mismo.
Un conjunto se representa frecuentemente mediante llaves que contienen sus elementos, ya sea de forma explícita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una fórmula, regla o proposición que los describa.
Por ejemplo:
S1 = {2; 4};
S2 = {2, 4,6, ..., 2n, ...} = 2N {todos los enteros pares};
S3 = {x | x2 - 6x + 11 ≥ 3};
S4 = {todos los varones vivos llamados Juan}.
S3 se describe como el conjunto de todas las x tales que x2 - 6x + 11 ≥ 3.

Subconjuntos y superconjuntos: Si todo elemento de un conjunto R pertenece también al conjunto S, R es un subconjunto de S, y S es un superconjunto de R; utilizando símbolos, R S, o S R.Todo conjunto es un subconjunto y un superconjunto de sí mismo. Si R S, y al menos un elemento de S no pertenece a R, se dice que R es un subconjunto propio de S, y S es un superconjunto propio de R. Si R S y S R, es decir, todo elemento de un conjunto pertenece también al otro, entonces R y S son dos conjuntos iguales, lo que se escribe R = S.

Unión e intersección: Si A y B son dossubconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A ∪ B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito A ∩ B.
Si A y B no tienen ningún elemento común, su intersección no tiene ningún elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro conjunto,éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo ∅ o {} .
Por ejemplo:
A = {2, 4, 6}
B = {4, 6, 8, 10}
C = {10, 14, 16, 26}
Entonces:
A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10},
A ∪ C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26},
A ∩ B = {4, 6}
A ∩ C = ∅.

Diferencia y complementario: El conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B se denomina conjunto diferencia entre A y B,...