teoria de conjuntos

Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores 
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p  p'.
Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores 
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p  p'.
Una paradoja es una proposición a la queno se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con 
incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p es falsa". 
 
Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales 
que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p  q es una tautología. Por ejemplo,las proposiciones
                p  q
y
                q'  p'
son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco", y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo. 
Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación con la teoría de conjuntos. 
  
Números naturales : principio de inducción

Admitivos como intuitivo el concepto de númeronatural; así, podemos enumerar los números naturales en orden creciente:
N = { 1,2,3,4,5, ... }
Cuando se quiere demostrar que una proposición relativa a números naturales es cierta, se necesita el Principio de Inducción:
        "Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que
m  S
        y que
n S  n+1  S
        Entonces S = {m,m+1,m+2, ... }"
(es decir, la propiedad se verifica para todo número natural a partir de m; normalmente se usa con m = 1). 
 
Algunas veces, cuando se quiere demostrar que la proposición es cierta para n+1, es necesario usar que la proposición 
se verifica para todo k < n+1; en ese caso se utiliza el Principio de Inducción completa:
        "Sea S el conjunto de números naturales para los que laproposición p(n) es cierta; supongamos que
m  S
        y que
m,m+1, ... ,n S  n+1  S
        Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }" 
 Ejercicio: pruébese por inducción la fórmula del binomio de Newton 
 
                 
(Indicación: utilícense las propiedades de los números combinatorios). 
  
 Teoría de Conjuntos
 NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo deobjetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a  A. 
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A. 
Ejemplos de conjuntos: 
 
 : el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : elconjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.
  
Se puede definir un conjunto:
por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, 
o su propiedadcaracterística, si se define por comprensión. Por ejemplo:
A := {1,2,3, ... ,n}
B := {p Z | p es par}
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), 
y se denota A  B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a  A  a  B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B  A; 
esto equivalea decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que  A y A  A; 
B  A es un subconjunto propio de A si A   y B  A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota  (A). 
Entonces, la relación B  A es equivalente a decir B   (A). Ejemplos: 
 
Si A = {a,b}...