Teoria Probabilidad

RESUMEN PROBABILIDAD

OPERACIONES CON SUCESOS:






Unión Intersección Diferencia Diferencia Diferencia simétrica
(A o B) (A y B) (Sólo suceso A) (Sólo suceso B) (Sólo suceso A o B)

PROPIEDADES DE SUCESOS:
Distributiva: A ∩ (B U C) = (A∩ B) U (A ∩ C) Leyes de Morgan:
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

LEY DE LAPLACE: PROBABILIDAD DEL SUCESO A



Siempre se debe cumplir que: 0 ≤ P(A) ≤ 1

PROBABILIDAD DEL SUCESO CONTRARIO: P() = 1 - P(A)

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Si dos sucesos A y B son incompatibles, P(A∩B)= 0  P(AUB) = P(A) + P(B)

PROBABILIDAD CONDICIONADA: ó

Sucesos independientes: Dos sucesos son independientes si p(A/B) = P(A) ó p(B/A) = P(B)

PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN: P(A∩B) = P(A/B) · P(B) ó P(A∩B) = P(A) · P(B/A)

Si dos sucesos A y B son independientes p(A/B) = P(A), luego quedaría: P(A∩B) = P(A) · P(B)

AYUDA PARA RESOLVER EJERCICIOS DEPROBABILIDADES
a) Diagramas de Venn: Por ejemplo
Probabilidad de la diferencia: P(A-B) = P(A) - P(A∩B)
Probabilidad de la diferencia simétrica: P(AΔB) = P(A - B) + P(B - A) ó P(AΔB) = P(AUB) - P(A∩B)

b) Tablas de contingencia:





c) Diagramas de árbol:








SEPTIEMBRE 00/ BLOQUE 1 / EJERCICIO B
En un experimento aleatorio se consideran los sucesos A y B. La probabilidad de que no severifique A es 0,1. La probabilidad de que no se verifique B es 0,4. La probabilidad de que no se verifique A ni B es 0,04. Hallar la probabilidad de que:
1º) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B.
2º) Se verifique el suceso A y se verifique el suceso B. ¿Son independientes los sucesos A y B?

Solución:
Se tiene:
P() = 0,1  P(A) = 1 - P() = 1 – 0,1 = 0,9
P() = 0,4  P(B) = 1 - P() = 1 –0,4 = 0,6
P() = 0,04

1º) P(AUB) = 1 – P() = 1 – 0,04 = 0,96

2º) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(AUB)
P(A∩B) = 0,9 + 0,6 – 0,96 = 0,54
Dos sucesos son independientes si p(A/B) = P(A)
P(A) = 0,9
P(A/B) = P(A∩B) / P(B) = 0,54 / 0,6 = 0,9
Luego como son iguales los resultados, los sucesos son independientes.

También lo podríamos haber comprobado de la siguiente manera:De la definición: P(A/B) = P(A∩B) / P(B) , despejando P(A∩B) , queda
P(A∩B) = P(A/B) · P(B) , y si A y B son independientes quedaría:
P(A∩B) = P(A) · P(B)
Como P(A)·P(B) = 0,9 · 0,6 = 0,54, y coincide con el resultado de P(A∩B), los sucesos son independientes.


SEPTIEMBRE 00. BLOQUE 4 / EJERCICIO A
A) Una caja contiene 7 tarjetas de la misma forma y tamaño: 4 de color amarillo y 3 de color rojo.Se extrae de ella al azar una tarjeta, se anota su color y sin devolverla a la caja extraemos de ésta una segunda tarjeta. Se pide:
1º) Escribir el espacio muestral.
2º) Hallar la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales del espacio muestral.

Solución:

1º) Si A designa el suceso sacar tarjeta amarilla y R el suceso sacar tarjeta roja, se tiene:
E = {AA, AR, RA, RR}

2º) Podríamoshacer un diagrama de árbol de los sucesos posibles:
1ª Extracción 2ª Extracción












JUNIO 04. BLOQUE 2 / EJERCICIO B
En una determinada asignatura hay matriculados 2500 alumnos. En Junio se presentaron 1800 de los que aprobaron 1015, mientras que en Septiembre, de los 700 que se presentaron, suspendieron 270. Elegido al azar un alumno matriculado en esa asignatura, 1) calculala probabilidad de que la haya aprobado. 2) Si ha suspendido la asignatura, cuál es la probabilidad de haberse presentado en Septiembre.

Solución:
Toda la dificultad del ejercicio está en saber organizar los datos. Lo podríamos hacer directamente, o bien, ayudándonos con una tabla de contingencia o con un diagrama de árbol.

a) Intentamos resolver el ejercicio directamente:

1) Si A designa el...