Topología general

UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO MAGISTER EN MATEMATICAS

T´picos en Matem´ticas o a
Tarea no 1

Pregunta 1 Muestre que si X es un espacio T2 , entonces el conjunto l´ ımite de toda sucesi´n o convergente posee un solo punto. ´ Solucion. Sean (xn )n∈N una sucesi´n convergente en X y L((xn )n∈N ) su conjunto de puntos o l´ ımites. El resultado lo probaremos por absurdo. Sean x, y ∈ L((xn)n∈N ) tales que x = y, luego como X es T2 , existen abiertos U y V que contienen a x e y, respectivamente, tales que U∩V =∅ (1)

Por otro lado, como x es punto l´ ımite de (xn )n∈N , existe N1 1 tal que xn ∈ U para todo n N1 . An´logamente, para y, existe N2 1 tal que xn ∈ V para todo n N2 . Sin perdida a de generalidad, podemos suponer que N2 N1 , luego, para todo n N2 N1 se tiene que xn ∈ U ∩ V,es decir U∩V =∅ lo cual contradice (1). Pregunta 2 D´ un ejemplo de una sucesi´n convergente en alg´ n espacio topol´gico, cuyo e o u o conjunto l´ ımite contenga m´s de un punto. a ´ Solucion. Basta considerar R con la topolog´ indiscreta τ = {R, ∅}, el cual verifica que ıa para toda sucesi´n (xn )n∈N , el conjunto l´ o ımite L((xn ))n∈N es R. En general, esto se puede hacer para cualquierconjunto no vac´ X. ıo Pregunta 3 Sea X un espacio primero contable. Muestre que F ⊂ X es cerrado, si y s´lo si, o para toda sucesi´n (xn )n∈N ⊂ F convergente, entonces L((xn )n∈N ) ⊂ F. o ´ Solucion. o ⇒ Sean x ∈ L((xn )n∈N ) y (xn )n∈N ⊂ F una sucesi´n que converge a x. Luego, para cada abierto U que contiene a x, existe N 1 tal que xn ∈ U, para todo n N. Esto implica que U ∩ F = ∅ para todo abierto Uque contiene a x, luego, x ∈ F = F (pues F es cerrado). As´ tenemos que ı L((xn )n∈N ) ⊂ F . 1

⇐ Para probar que F es cerrado, basta ver que F ⊆ F. Sea x ∈ F, luego para todo abierto U que contiene a x se tiene que U ∩ F = ∅. Ahora, como X es primero contable, existe una familia de abiertos Bx = {Un (x) : x ∈ Un (x), n ∈ N} tal que para todo abierto U que contiene a x, existe n ∈ N tal que Un(x) ⊂ U. N´tese que, a partir de la familia Bx , podemos construir una o familia numerable de abiertos que contengan a x, como sigue: V1 (x) := U1 (x) V2 (x) := U2 (x) ∩ V1 (x) . . . Vi (x) := Ui (x) ∩ Vi−1 (x) . . . Claramente, la familia Vx := {Vn (x) : x ∈ Vn (x), n ∈ N} es una familia numerable de abiertos que contienen a x y adem´s es decreciente, es decir a V1 (x) ⊃ V2 (x) ⊃ V3 (x) ⊃ · · ·(2)

Ahora, como Vn (x) ∩ F = ∅ para todo n ∈ N, podemos considerar alg´ n xn ∈ Vn (x) ∩ F y u formar una sucesi´n (xn )n∈N . Claramente, (xn )n∈N ⊂ F y adem´s esta sucesi´n converge a x. o a o En efecto, sea W un abierto que contiene a x, luego, existe N ∈ N tal que VN (x) ⊂ W. Lo cual implica que xn ∈ W para todo n N, pues Vn (x) ⊂ VN (x) para todo n N. Por lo tanto, x ∈ L((xn )n∈N ). As´tenemos que x ∈ L((xn )n∈N ) ⊂ F, y por lo tanto, F = F. ı, Pregunta 4 Sea X un espacio primero contable. Muestre que si el conjunto l´ ımite de toda sucesi´n convergente posee un solo punto, entonces X es T2 . o ´ Solucion. Se proceder´ por absurdo. Supongamos que X no es T2 y consideremos x, y ∈ X a tales que x = y. Luego, como X es primero contable, existe una familia numerable de abiertos quecontienen a x y una familia numerable de abiertos que contienen a y, las cuales podemos considerar como familias decrecientes construidas como el ejercicio anterior, es decir, para x tenemos la familia Bx = {Un (x) : x ∈ Un (x), n ∈ N} donde U1 (x) ⊃ U2 (x) ⊃ U3 (x) ⊃ · · · y es tal que, para todo abierto U que contiene a x, existe n ∈ N de modo que Un (x) ⊂ U. An´logamente, para y, tenemos la familiaa Vy = {Vn (y) : y ∈ Vn (y), n ∈ N} donde V1 (y) ⊃ V2 (y) ⊃ V3 (y) ⊃ · · · y es tal que, para todo abierto V que contiene a y, existe n ∈ N de modo que Vn (x) ⊂ V. Ahora, como X no es T2 se tiene que Un (x) ∩ Vn (y) = ∅, para todo n ∈ N. Luego, para cada n ∈ N 2

podemos considerar alg´ n zn ∈ Un (x) ∩ Vn (y) y formar la sucesi´n (zn )n∈N , la cual converge u o a x e y (se prueba de forma...