Trabajo_col_2_Hernan_Perez ejercicios desarrollados

Cálculo Integral
Trabajo Colaborativo 2
Evaluar las siguientes integrales impropias:
1. 1∞1-xe-xdxSolución:
=limb→∞1b1-xe-xdxHacemos integración por partes:
u=1-x dv=e-xdxdu=dxv=-e-x=limb→∞-e-x1-x1b-1b-e-xdx=limb→∞-e-b1-b-e-11-1+1be-xdx=limb→∞-e-b1-b-e-x1b=limb→∞-e-b1-b-e-b-e-1=limb→∞-e-b+be-b-e-b+e-1=limb→∞-1eb+beb-1eb+1e=-0+0-0+1e=1e2. -∞∞ex1+e2xdxSolución:Primero resolvemos la integral indefinida:
ex1+e2xdxHacemos la sustitución:
u=ex→du=exdxRemplazamos:
=11+u2du=arctanu+c=arctanex+cAhora resolvemos la integral definida:-∞∞ex1+e2xdx=-∞0ex1+e2xdx+0∞ex1+e2xdx=lima→-∞a0ex1+e2xdx+limb→∞0bex1+e2xdx=lima→-∞arctanexa0+limb→∞arctanex0b=lima→-∞arctane0-arctanea+limb→∞arctaneb-arctane0=lima→-∞arctan1-arctanea+limb→∞arctaneb-arctan1=lima→-∞arctan1-lima→-∞arctanea+limb→∞arctaneb-limb→∞arctan1=arctan1-arctan0+arctan∞-arctan1=π4-0+π2-π4=π23. 01dx3xSolución:
=lima→0+a1dx3x=lima→0+a1dxx13=lima→0+a1x-13dx=lima→0+3x232=3(0)232=04. 0π2cosx1-senxdxSolución:
Hacemos la sustitución:u=1-senxdu=-cosxdx-du=cosxdxCambio de límites:
si x=π2 entonces u=1-senπ2=1-1=0si x=0 entonces u=1-sen0=1-0=1Luego:
=10-duu=-10duu12=01u-12du=2u1201=2112-012=21=25. x3x4+32dxSolución:
Hacemos la sustitución:u=x4+3du=4x3dxdu4=x3dxRemplazamos:
=u2du4=14u2du=14u33+c=u312+c=x4+3312+c6. 0134+xdxSolución:
Hacemos la sustitución:
u=4+xx=u-4x=u-42dx=2u-4duCambio de límites:
si x=1 entonces u=4+1=4+1=5six=0 entonces u=4+0=4+0=4Remplazamos:
=453u2u-4du=456uu-4du=456-24udu=6u-24lnu45=65-64-24ln5+24ln4=30-24-24ln5-ln4=6-24ln54=0,647. dxx24+x2Solución:
Hacemos la sustitución:
x=2tanθdx=2sec2θdθRemplazamos:
=2sec2θdθ2tanθ24+2tanθ2=2sec2θdθ4tan2θ4+4tan2θ=2sec2θdθ4tan2θ41+tan2θ=2sec2θdθ4tan2θ4sec2θ=2sec2θdθ4tan2θ 2secθ=secθ4tan2θ dθ=141cosθsen2θcos2θ dθ=14cos2θcosθsen2θdθ=14cosθsen2θdθHacemosla sustitución:
z=senθ→dz=cosθdθRemplazamos:
=14dzz2=14z-2dz=14-z-1+c=-14z+c=-14senθ+cBuscamos el valor de senθ en el triángulo rectángulo:...