Transformación lineal

´ ´ UNIVERSIDAD CATOLICA ANDRES BELLO FACULTAD DE INGENIER´ IA ESCUELA DE INGENIER´ EN TELECOMUNICACIONES IA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA ´ ´ CATEDRA: ALGEBRA LINEAL

TRANSFORMACIONES LINEALES
Definici´n de transformaci´n lineal: o o Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformaci´n lineal T de V en W es una funci´n o o que asigna a cada vector v ∈ V un vector unico T (v) ∈ W y quesatisface, para cada u y v en V y ´ cada escalar real α, (a) T (u + v) = T (u) + T (v). (b) T (αu) = αT (u). Tambi´n, las dos condiciones anteriores se pueden reducir a la condici´n unica: e o ´ (a) T (αu + v) = αT (u) + T (v). Si V = W , la transformaci´n lineal T : V → W tambi´n es llamada operador lineal sobre V . o e Ejemplo 1: Sea T : R3 → R2 definida por T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x3 ). Parademostrar que T es una transformaci´n lineal, consideremos el n´mero real α y los vectores (x1 , x2 , x3 ) y (y1 , y2 , y3 ) de R3 . o u Entonces T (α(x1 , x2 , x3 ) + (y1 , y2 , y3 )) = = = = = = T ((αx1 , αx2 , αx3 ) + (y1 , y2 , y3 )) T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 ) (αx1 + y1 , αx3 + y3 ) (αx1 , αx3 ) + (y1 , y3 ) α(x1 , x3 ) + (y1 , y3 ) αT (x1 , x2 , x3 ) + T (y1 , y2 , y3 )

Teorema 1: SeaT : V → W una transformaci´n lineal. Entonces, para todos los vectores o u, v, v1 , v2 , . . . , vn en V y todos los escalares reales α1 , α2 , . . . , αn , se tiene que (a) T (θV ) = θW , donde θV y θW , son los vectores nulos de V y W , respectivamente. (b) T (u − v) = T (u) − T (v). (c) T (α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn ) = α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + · · · + αn T (vn ). N´ cleo e imagen de unatransformaci´n lineal: u o Sean V y W espacios vectoriales reales y T : V → W una transformaci´n lineal. Entonces o (a) el n´cleo (o kernel ) de T , que denotaremos por N uc(T ), es el subconjunto de V que consta de u todos los vectores v ∈ V tales que T (v) = θW . En s´ ımbolos N uc(T ) = {v ∈ V : T (v) = θW } (b) la imagen (o recorrido) de T , que denotaremos por Im(T ), es el subconjunto detodos los vectores de W que son im´genes bajo T de vectores de V . En s´ a ımbolos Im(T ) = {w ∈ W : w = T (v) para alg´n v ∈ V } u 1

Ejemplo 2: Sea T : R3 → R2 una transformaci´n lineal definida por T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x3 ). El o n´cleo de T viene dado por todos aquellos vectores (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 tales que T (x1 , x2 , x3 ) = (0, 0). u Esto es, T (x1 , x2 , x3 ) = (0, 0) ⇒ (x1 , x3 ) =(0, 0) ⇒ x1 = x3 = 0 As´ tenemos que N uc(T ) = {(x1 , x2 , x3 )R3 : x1 = x3 = 0}. ı, Por otra parte, la imagen de T est´ formada por los vectores (x, y) ∈ R2 tales que (x, y) = T (x), a 3 para alg´n vector x ∈ R . De hecho, todo vector (x, y) ∈ R2 es tal que (x, y) = T (x, 0, y), donde los u vectores (x, 0, y) ∈ R3 . Luego, Im(T ) = R2 . Teorema 2: Si T : V → W es una transformaci´n lineal,entonces N uc(T ) e Im(T ) son o subespacios de V y W , respectivamente. Teorema 3 (Teorema de la Dimensi´n): Si T : V → W es una transformaci´n lineal, o o entonces dim(N uc(T )) + dim(Im(T )) = dim(V ) Transformaciones lineales inyectivas, sobreyectivas y biyectivas: Sea T : V → W una transformaci´n lineal. Entonces, diremos que T es o (a) inyectiva si y s´lo si para v1 , v2 ∈ V se tiene que o T (v1 )= T (v2 ) ⇒ v1 = v2 (b) sobreyectiva (o simplemente “sobre”) si y s´lo si Im(T ) = W . o (c) biyectiva si y s´lo si T es inyectiva y sobreyectiva. o Teorema 4: Sea T : V → W una transformaci´n lineal. Entonces, o (a) T es inyectiva si y s´lo si N uc(T ) = {θV } (o su equivalente: dim N uc(T ) = 0). o (b) T es sobre si y s´lo si dim Im(T ) = dim W . o Teorema 5: Sea T : V → W una transformaci´nlineal donde dim(V ) = n y dim(W ) = m. o Entonces, (a) si n > m, entonces T no es inyectiva. (b) si n < m, entonces T no es sobreyectiva. (c) si n = m, entonces (i) T es inyectiva si y s´lo si T es sobreyectiva. o (ii) T no es inyectiva si y s´lo si T no es sobreyectiva. o Inversa de una transformaci´n lineal: o Una transformaci´n lineal T : V → W es invertible si T es biyectiva. o Teorema 6: Si...