Transformacion De coorDenadas

transformación SOBRE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Agustin Uribe R. Se puede construir un sistema de coordenadas utilizando cualesquiera de tres tipos de superficies mutuamente ortogonales, con la propiedad de que cada punto en el espacio de tres dimensiones pueda especificarse como el punto de intersección de tres de estas superficies. Para describir esta idea matemáticamente, suponemos que x1,x2 y x3 son las coordenadas cartesianas en tres dimensiones y que se pueden expresar como funciones de las variables q1, q2 y q3 de la siguiente manera:
x1  x1 (q1 , q2 , q3 ) , x2  x2 (q1 , q2 , q3 ) , x3  x3 (q1 , q2 , q3 )

(1)

Para construir el nuevo sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales, supondremos lo siguiente: a) las ecuaciones pueden resolverse para q1, q2 y q3 entérminos de x1, x2 y x3 (es decir, se puede realizar la transformación inversa). b) Cada punto en el espacio puede describirse mediante exactamente una tercia de números (q1, q2 y q3). En este caso decimos que q1, q2 y q3 forman un sistema de coordenadas curvilíneas. Si además las superficies coordenadas q1 = k1, q2 = k2 y q3 = k3 son mutuamente ortogonales para cualquier tercia (k1, k2, k3) de númerosreales, se dice que q1, q2 y q3 constituyen un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales. Esto se muestra en la Fig. 1. q3 q2=k2 t1 t2 q1 q3=k3 t3 q1=k1 q2

Figura 1. Sistema de Coordenadas Curvilíneas Ortogonales Por lo tanto, las relaciones entre los dos sistemas de coordenadas, de los cuales uno es el cartesiano y el otro es un sistema general de coordenadas curvilíneas ortogonales, sepuede escribir como:
xi  xi (q ) q  q ( xi )

(2) (3)

1

TANGENTE A UNA CURVA: Suponga que s es la longitud del arco a lo largo de una curva en un espacio tridimensional, tal que la función vectorial r(s) representa todos los puntos de la curva. Si r es un vector dirigido de un punto con vector de posición r1 a otro con vector de posición r2 de la curva, y s es la correspondientelongitud de este arco, entonces el límite de r/s cuando s  0 se convierte en dr/ds, como se muestra en la Fig. 2. Además:
dr  ds

 ds 
i

dxi

i

 t en donde dr 

  dx
i i

i

y ds 2  dr  dr   dxi 2 , por lo que dr  ds t
i

(4)

En donde t es un vector unitario que es tangente a la curva y dirigido hacia el incremento de s y ds es la longitud o módulo del vectordr. De aquí, la rapidez de cambio de una función escalar f a lo largo de esta curva está dado por:
f  s

 x
i

f dxi    i ds 

 ds      x   
i i

dxi

  

f
j

i

  j   t  f  
x3 s r r2 x2

(5)

r1

x1

Figura 2. Longitud de arco s y el correspondiente vector r entre dos puntos r1 y r2. LONGITUD DE ARCO: La clave para encontrarexpresiones para coordenadas curvilíneas es considerar la longitud del arco a lo largo de una curva coordenada. En particular, considere que si representa la longitud del arco a lo largo de una curva qi. Un vector que es tangente a la curva qi y dirigido en la dirección del aumento de qi está dado por:
ai  r s i   hi  i qi qi

(6)

En donde hi=ds/dqi son llamados factores de escala y sepueden obtener mediante la siguiente relación:
s i s i  ds      hi  hi  i  hi  i  qi qi  dqi   
2 2

 dx 
j j

2

dqi

2




j

 x j   q  i

   

2

(7)

2

En general, qi es diferente de s, por lo que ai no es una tangente unitaria (ai  i). La relación entre una coordenada y la correspondiente longitud de arco está contenida enel factor de escala, el cual generalmente depende de la posición y será más grande cuanto más se aleje la curva de la tangente ( es decir, es una medida de la curvatura de las coordenadas curvilíneas). Para una curva arbitraria en el espacio con longitud de arco s, encontramos que
dr  t ds


i

r dqi  qi ds


i

dq hi  i i por lo que t  t  ds


i

2  dqi  hi   o ds...