transformaciones lineales

TRANSFORMACIONES LINEALES
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K . La aplicación f : V → V se llama
aplicación lineal o transformación lineal si cumple los dos requisitos siguientes:
1. ∀v1 , v2 ∈V :

f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 )

2. ∀k ∈ K , ∀v ∈ V :

f ( k ⋅ v ) = k ⋅ f (v )

o equivalentemente:

∀ k1 , k 2 ∈ K , ∀ u, v∈ V :

f (k1 ⋅ u + k 2 ⋅ v) = f (k1 ⋅ u) + f (k 2 ⋅ v) = k1 ⋅ f (u ) + k 2 ⋅ f (v)

Ejemplos
1.

f : R2 → R2 ,

f ( x, y ) = ( x + y , y )

Sí es una aplicación lineal porque

f (k1 ( x, y ) + k 2 ( x' , y ' ) ) = f (k1 x + k 2 x' , k1 y + k 2 y ' ) = (k1 x + k 2 x'+ k1 y + k 2 y ' , k1 y + k 2 y ' ) =
(k1 x + k1 y, k1 y ) + (k 2 x'+ k 2 y ' , k 2 y ' ) = k1 ( x + y, y ) + k 2 ( x'+ y ' , y ) = k1 ⋅ f ( x, y ) + k 2 ⋅ f (x' , y ' )

2.

f : R2 → R2 ,

f ( x1 , x2 ) = ( x1 + x2 , 2)

No es una aplicación lineal ya que, por ejemplo, para a = b = 1 , u = (1, 0) , v = (0, 1)
f [(1, 0) + (0,1)] = f (1,1) = (2,2)


 ⇒ (2,2) ≠ (2,4)
f (1,0) + f (0,1) = (1,2) + (1,2) = (2,4)
Propiedades
1. Toda aplicación lineal transforma el vector nulo de V en el vector nulo de V :
_

_

f (0V ) = 0V
2. La imagendel opuesto de un vector es el opuesto de la imagen del vector:
f (−v) = − f (v), ∀ v ∈ V
3. Las aplicaciones lineales transforman subespacios vectoriales de V

en

subespacios vectoriales de V :
S es subespacio vectorial de V ⇒ f (S ) es subespacio vectorial de V

1

Expresión matricial de una trasformación lineal
Dada la aplicación lineal f : Vn → Vn y fijada una base B = { u1 ,… ,un } de Vn , se
comprueba que f queda completamente determinada por una matriz A ∈ M n que es
única, pudiendo reducirse el análisis de f al estudio de A.
Ecuaciones de una aplicación lineal
Buscamos la relación entre las coordenadas de un vector x de Vn y las coordenadas
de su imagen y = f ( x), conocidas las imágenes de los vectores de la base B de Vn . Es

decir, conocemos

{ f (u1 ),..., f (un )} ⊂ Vn

y queremos hallar la expresión matricial de

la aplicación lineal.
f
Vn 
→ Vn

B = { u1 ,..., un }

B = { u1 ,..., un }

x = x1u1 + ... + xn un 
→ y = f ( x) = y1u1 + ... + ymun

 f (u1 ) = a11u1 + a21u2 + ⋯ + an1un
 f (u ) = a u + a u + ⋯ + a u

2
12 1
22 2
n2 n

 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
 f (un ) = a1n u1 + a2 n u2 + ... + ann un
↓
y = f ( x) = f (x1u1 + x2u2 + ⋯ + xnun ) = x1 f (u1 ) + x2 f (u2 ) + ⋯ + xn f (un ) =
x1 (a11u1 + a21u2 + ⋯ + an1un ) + x2 (a12u1 + a22u2 + ⋯ + an 2un ) + ⋯ + xn (a1n u1 + a2 n u2 + ⋯ + annun ) =
( x1a11 + x2 a12 + ⋯ + xn a1n )u1 + ( x1a21 + x2 a22 + ⋯ + xn a2 n )u2 + ⋯ + ( x1an1 + x2 an 2 + ⋯ + xn ann )un
Como y = f ( x) = y1v1 + ... + yn vn , entonces las ecuaciones de f respecto de la base
B de Vn son

 y1= x1a11 + x2 a12 + ... + xn a1n
 y = x a + x a + ... + x a
 2
1 21
2 22
n 2n

…………...

 yn = x1an1 + x2 an 2 + ... + xn ann
y la expresión matricial de f respecto de B1 y B2 será
Y = AX ,

A∈ Mn

2

 y1 
 
 y2 
⋮ 
 
 yn 
Coordenadas de y
respecto de B

 a11 a12 … a1n 


a21 a22 ⋯ a2 n 

=
⋅
 ... ... … ... 


 an1 an 2 … ann 
f (u1 )

⋯

f ( u2 )

f ( un )

 x1 
 
 x2 
⋮ 
 
 xn 
Coordenadas de x
respecto de B

Propiedades
1. A ∈ M n = Matriz asociada a f respecto de B
2. Las columnas de A son las imágenes de los vectores de la base B de Vn ,
expresados en términos de la base de llegada B .
3. A es única, ya que son únicas las coordenadas de f (u1 ),..., f (u n ) en relación a
B, puestoque B es base.

4. A depende de la base de referencia elegida B . Si ésta cambiara, cambiará la
matriz de manera que se sigan obteniendo los mismos vectores.
5. El estudio de la aplicación f se puede realizar mediante el estudio de la matriz
A.
Ejemplo
Exprese en forma matricial la aplicación lineal definida por:
f (e1 ) = e2 + e3
f : R 3 → R3 /

f (e2 ) = 2e2
f (e3 ) = e1 + e3...