Transformaciones lineales


Transformaciones lineales

Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal. ´ Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.


3.1.1 Transformaciones lineales






Ejemplos.

1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0 :V → W, definida por 0(x) = 0W ∀ x ∈ V , es una transformación lineal.

2. Si V es un K-espacio vectorial, id : V → V definida por id(x) = x es una transformación lineal.

3. Sea A ∈ Km×n. Entonces fA : Kn → Km definida por fA(x) = (A.xt ) t es una transformación lineal.

4. f : K[X] → K[X], f(P) = P 0 es una transformación lineal.

5. F : C(R) → R, donde C(R) = {f : R → R | f escontinua}, F(g) = R 1 0 g(x) dx es una transformación lineal.

Como hemos mencionado al comienzo, las transformaciones lineales respetan la estructura de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio, por ejemplo en las imágenes y pre-imágenes de subespacios por transformaciones lineales:

Proposición 3.3 Sea f : V → W una transformación lineal.Entonces:

1. Si S es un subespacio de V , entonces f(S) es un subespacio de W.

2. Si T es un subespacio de W, entonces f −1 (W) es un subespacio de V .

Demostración.





3.1 Definiciones, ejemplos y propiedades básicas

De la Definición 3.1 se deduce inmediatamente que una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación linealqueda unívocamente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio. Comenzamos con un ejemplo. Ejemplo.

Hallar, si es posible, una transformación lineal f : R 2 → R 2 que verifique f(1, 1) = (0, 1) y f(1, 0) = (2, 3).

Dado (x1, x2) ∈ R 2 se tiene que (x1, x2) = x2(1, 1)+ (x1 −x2)(1, 0). Entonces, si f verifica lo pedido, debe ser
f(x1, x2) =x2.f(1, 1) + (x1 − x2).f(1, 0) = x2.(0, 1) + (x1 − x2).(2, 3)
= (2x1 − 2x2, 3x1 − 2x2).

Además, es fácil ver que esta función es una transformación lineal y que vale f(1, 1) = (0, 1) y f(1, 0) = (2, 3).

Luego, f(x1, x2) = (2x1 − 2x2, 3x1 − 2x2) es la ´única transformación lineal que satisface lo pedido.

La construcción realizada en el ejemplo puede hacerse en general. Por simplicidad,lo probaremos para el caso en que el dominio de la transformación lineal es un K-espacio vectorial de dimensión finita.

Proposición 3.4 Sean V y W dos K-espacios vectoriales, V de dimensión finita. Sea B = {v1, . . . , vn} una base de V y sean w1, . . . , wn ∈ W vectores arbitrarios. Entonces existe una única transformación lineal f : V → W tal que f(vi) = wi para cada 1 ≤ i ≤ n.Demostración.

Existencia. Dado v ∈ V existen únicos α1, . . . , αn ∈ K tales que v = Pn i=1 αivi , es decir, (α1, . . . , αn) = (v)B es el vector de coordenadas de v en la base B. Definimos





Transformaciones lineales

De manera análoga se prueba que f(λv) = λf(v) ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V .

Unicidad. Supongamos que f y g son dos transformaciones lineales de V en W tales que f(vi) = wi y g(vi) =wi para cada 1 ≤ i ≤ n. Entonces, dado v ∈ V , si v = Pn i=1 αivi , por la linealidad de f y g se tiene que



Luego, f(v) = g(v) para todo v ∈ V , de donde f = g.

Observación 3.5 Con una demostración análoga a la de la proposición anterior se prueba que, si V y W son dos K-espacios vectoriales (V no necesariamente de dimensión finita), B ={vi : i ∈ I} una base de V y {wi : i ∈ I} ⊂ W, existe una única transformación lineal f : V → W tal que f(vi) = wi ∀ i ∈ I.

Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre conjuntos, tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de funciones: inyectividad, suryectividad y biyectividad. Las transformaciones lineales que verifican alguna de estas...