Transformaciones Lineales

CAP´ıTULO 7


TRANSFORMACIONES LINEALES.


Las transformaciones lineales son funciones entre espacios vectoriales. Ellas preservan (mantienen) las estructuras lineales que caracterizan a esos espacios: los transformados de combinaciones lineales de vectores son las correspondientes combinaciones de los transformados de cada uno de los vectores.Las funciones que mantienen las estructuras caracter´ısticas de los es- pacios entre los que actu´an son de especial importancia porque permiten
”moverse” entre ellos comparando las estructuras que los definen; en par- ticular, permiten analizar cu´an diferentes o semejantes son desde el punto de vista de esas propiedades (lineales, en el presente caso). En estesentido las transformaciones lineales son tan importantes en el estudio de los espa- cios vectoriales, como las isometr´ıas o movimientos lo son en la geometr´ıa m´etrica.


7.1. Transformaciones lineales


DEFINICIO´ N 7.1. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y T : V → W una funci´on. Diremos que T es una transforma- ci´on lineal sisatisface :

i) T (u + v) = T (u) + T (v) ∀ u, v ∈ V.
ii) T (a.v) = a. T (v) ∀ a ∈ K, ∀ v ∈ V.

EJEMPLO 7.1. Sean

C 1 = {f : R → R / f es derivable} ⊂ F = {f : R → R} .

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La transformaci´on T : C 1 → F tal que T (f ) = f ′ es una transforma- ci´on lineal, puesse cumple que
i) T (f1 + f2) = (f1 + f2)′ = f ′ + f ′ = T (f1) + T (f2)
1 2
ii) T (α f ) = (α f )′ = α f ′ = α T (f )



EJEMPLO 7.2. Sea V un espacio vectorial y sea λ ∈ K. La funci´on T : V → V tal que T (v) = λ v es una transformaci´on lineal. Efectivamente: i) T (v1 + v2) = λ (v1 + v2) = λ v1 + λ v2 = T (v1 ) +T (v2 )
ii) T (a.v) = λ a v = a λ v = a T (v)



EJEMPLO 7.3. Sea V un espacio vectorial y v0 = ~0 un vector fijo de V. La funci´on T : V → V tal que: T (v) = v + v0 no es una transformaci´on lineal, pues T (v1 + v2 ) = v1 + v2 + v0 = v1 + v0 + v2 + v0 = T (v1 ) + T (v2 ).


Las propiedades i) y ii) de la definici´on anterior se pueden resumir de lasiguiente forma:

PROPOSICIO´ N 7.1. T : V → W es una transformacio´n lineal si y so´lo si T (a1 v1 + a2 v2) = a1 T (v1) + a2 T ( v2 ) ∀ a1 , a2 ∈ K ∀ v1, v2 ∈ V.

Demostracio´n. Sean a1 y a2 escalares y v1 y v2 vectores.
(⇒) T (a1 v1 + a2 v2) = T (a1 v1 ) + T (a2 v2 ) = a1 T (v1 ) + a2 T ( v2 ) . (⇐) En el caso particular en que a1 = a2 = 1 seobtiene T ( v1 + v2) = T (v1) + T ( v2), y en el caso particular en que a2 = 0 se obtiene T (a1 v1 ) =
a1 T (v1) .


PROPOSICIO´ N 7.2. Sea T : V → W una transformacio´n lineal. Enton-
0
ces, T ~
= ~0.

Demostracio´n. T ~
= T (0. v) = 0 . T (v) = ~0.


PROPOSICIO´ N 7.3. Sean V y W espacios vectoriales sobre un mismo cuerpocon dim (V ) = n, T : V → W y S : V → W transformaciones lineales. Consideremos una base B = {v1, . . . , vn } de V. Entonces: T (v) = S (v) ∀ v ∈ V si y solo si T (vi) = S (vi) ∀i = 1, 2, . . . , n.

Demostracio´n. (⇒) Si T y S coinciden en todo el espacio V, en particular coinciden en los vectores de la base B.
(⇐) Sea v ∈ V . Como B es base de V,existen α1, . . . , αn ∈ K tales que v = α1 v1 + . . . + αn vn . Luego, por ser T y S lineales

T (v) = T (α1 v1 + · · · + αn vn ) = α1 T (v1) + · · · + αn T (vn )
= α1 S (v1 ) + · · · + αn S (vn ) = S (α1 v1 + · · · + αn vn ) = S (v) .

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TEOREMA 7.4. Sean V, W espacios...