transformada de fourier

INTEGRAL Y TRANSFORMADA DE FOURIER
´
NOCIONES BASICAS
´
E. SAEZ

Pregunta ¿ Es posible conseguir una expresi´n, que represente equivalentemente
o
a una funci´n, no peri´dica y definida en el intervalo (−∞, ∞) ?.
o
o

Por la hip´tesis de no periocidad de la funci´n, una respuesta de una representao
o
ci´n de tipo Fourier no es posible, pues la Series de Fourier tienen la propiedad deo
periocidad.
Definici´n 1. Una funci´n f : (−∞, ∞) → R se llama Absolutamente Integrable si
o
o
y s´lo si, el valor principal de Cauchy de la integral impropia,
o
∞
|f (ξ)|dξ < ∞ (converge).
−∞

Ejemplo 1. Sea la funci´n f : (−∞, ∞) → R , tal que:
o
f (ξ) =

1

1 si |ξ| ≤ 1
0 si |ξ| > 1

,

−1
Entonces, la funci´n es Absolutamente Integrable, pues
o
∞

−∞

1

1|f (ξ)|dξ =

−1

dξ = 2 < ∞

N´tese que una funci´n peri´dica f : (−∞, ∞) → R, No es Absolutamente Inteo
o
o
grable. En particular las funciones trigonom´tricas b´sicas, Seno y Coseno , no son
e
a
Absolutamente Integrables.
Integral de Fourier
Sea P C[−p, p], el Espacio Euclidiano de las funciones seccionalmente continuas
definidas en el intervalo [−p, p], p > 0. Veremos que esteespacio es muy adecuado
para comprender la idea de la Integral y Transformada de Fourier con la ayuda del
Algebra Lineal.
Supongamos una funci´n f : (−∞, ∞) → R, seccionalmente continua en cada
o
subintervalo cerrado [−p, p], p > 0, equivalentemente ∀p > 0, f ∈ P C[−p, p]. Adem´s
a
Departamento de Matem´tica, UTFSM
a
e–mail: eduardo.saez@usm.cl.
1

´
E. SAEZ

2

suponemos que lafunci´n es Absolutamente Integrable en (−∞, ∞). Entonces se sabe
o
que en cada intervalo cerrado [−p, p], p > 0 la funci´n admite una representaci´n en
o
o
serie de Fuorier
∞

nπx
nπx
a0
+
+ bn sen
an cos
f (x) =
2
p
p
n=1

(1)

La convergencia es en el sentido del espacio Euclidiano, es decir, ||f (x) − Sk (x)|| →
0 si k → ∞, donde Sk (x) es la k-´sima suma parcial de la seriede Fourier (1).
e
Convergencia llamada en Norma (convergencia en media).
Se sabe que los coeficientes de la serie (1) est´n dados por los coeficientes de Fourier:
a
an =

1
p

p

f (x) cos
−p

1
nπx
dx, n ∈ N0 ; bn =
p
p

p

f (x) sen
−p

nπx
dx, n ∈ N
p

Con el objeto de pasar (1), a la situaci´n l´
o ımite cuando p → ∞, busquemos para
este c´lculo una expresi´n m´sadecuada que (1). Reemplazando los coeficientes de
a
o
a
Fourier en la serie de Fourier (1):
f (x) =

1
2p
+

nπξ
1 ∞
nπx
p
f (ξ) cos
dξ cos
−p
p n=1
p
p
nπξ
nπx
p
f (ξ) sen
dξ sen
−p
p
p

p
−p

f (ξ)dξ +

o bien equivalentemente, f (x) =

1
2p

p
−p

f (ξ)dξ +

1 ∞
p n=1

p
−p

cos

nπ
(ξ − x)f (ξ)dξ
p

La expresi´n anterior tambi´n se puedeescribir en la forma:
o
e
(2)

1
f (x) =
2p

p

1
f (ξ)dξ +
π
−p

∞
n=1

π
p

p

cos
−p

nπ
(ξ − x)f (ξ)dξ
p

El primer sumando del segundo miembro de (2), claramente tiene l´
ımite cero cuan1 p
1 p
do p → ∞, pues
f (ξ) dξ → 0, ya que f es Absolutamente
f (ξ)dξ ≤
2p −p
2p −p
Integrable.
Para demostrar la convergencia del segundo sumando, del segundo miembrode (2),
consideremos la definici´n misma de la Integral de Riemann.
o
nπ (n − 1)π
π
nπ
, n ∈ N0 , entonces ∆λn =
−
=
, n∈N
p
p
p
p
π π
π
Sea Pp = {0, , 2 , ..., n , ...} una partici´n aritm´tica del intervalo [0, ∞],
o
e
p p
p
Si λn =

Geom´tricamente,
e
0

λ1 λ2
• • •
π
2π
p
p

•

•

λn
• •
nπ
p

•

•

• >λ

INTEGRAL Y TRANSFORMADA DE FOURIER . ..

π
.
p
Para cada p > 0 y n ∈ N, sea la funci´n: F (λn ) =
o

3

La Norma de la partici´n es µ(Pp ) =
o

p
−p

f (ξ) cos λn (ξ − x)dξ. La funci´n
o
∞
−∞

p

es bien definida ya que existe y es acotada pues F (λn ) ≤ −p |f (ξ)|dξ ≤
y por hip´tesis f es Absolutamente Integrable en (−∞, ∞).
o
Sea la suma de Riemann , S(F, Pp ) =

∞

|f (ξ)|dξ

F (λn )∆λn

n=1...