TRANSFORMADA DE LAPLACE

Transformada de Laplace.

TRANSFORMADA DE LAPLACE.
INTRODUCCIÓN.
Una transformación se puede

interpretar como: Un cambio, variación o

metamorfosis. En la naturaleza se presentan transformaciones lineales como por
ejemplo;
SEMILLA

TRIGO

PAN

Algunas transformaciones son cíclicas como por ejemplo; El ciclo del agua.

Agua

Precipitación

Vaporización

Condensación

En el caso de la Transformadade Laplace se tiene algo parecido, ya que se tiene
una transformación reversible pues presenta una transformada inversa.

Solución de la
ecuación
algebraica

Transformada
de Laplace

Ecuación
diferencial

Ing. Fortunato Cerecedo H.

Ecuación
algebraica
racional

Solución de
la ecuación
Diferencial

Transformada
inversa de
Laplace

1

Transformada de Laplace.
La Transformada de Laplace es unatécnica Matemática que forma parte de
ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada
de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están
definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una
variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace
puede ser usada para resolver EcuacionesDiferenciales Lineales y Ecuaciones
Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ecuaciones diferenciales con
coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes
constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a
la misma ecuación diferencial. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función
en la variable independiente que aparece en laecuación diferencial es una función
seccionada.
Cuando se resuelven éstas ecuaciones usando la técnica de la transformada, se
cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología
consiste en aplicar la transformada a la ecuación diferencial y posteriormente usar
las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar
una función en la variable independientetenga una cierta expresión como
transformada.
Nos vamos a interesar en una integral impropia cuyo integrando contiene un
parámetro ‘s’, el cual permanece constante durante el proceso de integración.
∞

𝑏

∫ 𝑓(𝑠, 𝑡)𝑑𝑡 = lim ∫ 𝑓(𝑠, 𝑡)𝑑𝑡
0

𝑏→∞ 0

Si el límite existe, la integral se dice convergente.
Entonces, para transformar una función 𝑓(𝑡) en una función del parámetro ‘s’, se
usará una integralimpropia.

Ing. Fortunato Cerecedo H.

2

Transformada de Laplace.
Podemos clasificar una integral como:
 Integral propia.
 Integral impropia.
Integral propia.




Integral impropia.



El intervalo o dominio de
integración [𝒂, 𝒃] 𝒔𝒆𝒂 𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐.
El rango de integración sea finito
en ese intervalo de integración.

Intervalo de integración infinito.
∞

∫ 𝟒𝒙𝒆−𝒙 𝒅𝒙
𝟎

Ing. Fortunato Cerecedo H.

3Transformada de Laplace.
Tambien resulta una integral impropia cuando existe una discontinuidad en el
intervalo de integración.

𝒇(𝒙) =
𝟏

𝟏
√𝒙
𝟏

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫
𝟎

𝟎

𝟏
√𝒙

𝒅𝒙

La función tiene una discontinuidad
infinita en el intervalo de integración
[𝟎, 𝟏]

Para determinar una integral impropia, usaremos el concepto de límite.

Ing. Fortunato Cerecedo H.

4

Transformada de Laplace.
Ejemplo 1.Determinar la integral impropia.
∞

∫ 𝟒𝒙𝒆−𝒙 𝒅𝒙
𝟎

Solución.
1. Determinar la primitiva de la función, 𝑓(𝑥) = 4𝑥𝑒 −𝑥
El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración
indefinida y es por tanto el inverso de la derivación.

∫ 4𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
Usando integración por partes. ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
𝑢 = 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 → 𝑣 = ∫ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥

4 ∫ 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 4 {−𝑥𝑒−𝑥 − ∫(−𝑒 −𝑥 )𝑑𝑥}
4{−𝑥𝑒 −𝑥 + (−𝑒 −𝑥 )} = 4{−𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 }
2.

Determinar la integral definida
𝑏

∫ 4𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = [4{−𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 }]𝑏0
0

4{(−𝑏𝑒 −𝑏 − 𝑒 −𝑏 ) − (−0𝑒 −0 − 𝑒 −0 )} = 4{−𝑏𝑒 −𝑏 − 𝑒 −𝑏 + 1}
Ing. Fortunato Cerecedo H.

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Transformada de Laplace.
𝑏

∫ 4𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −4𝑏𝑒 −𝑏 − 4𝑒 −𝑏 + 4
0

3. Usando el concepto de límite.
𝑏

lim {∫ 4𝑥𝑒 −𝑥 } = lim {−4𝑏𝑒 −𝑏 − 4𝑒 −𝑏 + 4}

𝑏→∞

𝑏→∞

0

−4 lim...