Transformadas De Fourier En Tiempo Discreto

Transformada de Fourier en tiempo discreto

Definición de la transformada
Dada una función definida en tiempo discreto y[k] , en que k 2 Z , su transformada de Fourier discreta Y (ejθ) y su transformada de Fourier discreta inversa quedan definidas por las ecuaciones:

Fdyt=Yejθ=-∞∞yke-jθk C.18
Fd-1Yejθ=Yk=12π02πYjθejθkdθ C.19

La transformada Y (ej_) definida en (C.18) resultaser periódica, de periodo 2, por tanto la integral que define la transformada inversa (C.19), puede calcular en cualquier intervalo de longitud 2. De hecho, algunos textos la definen en el intervalo [-,]

Para que la transformada exista es suficiente que la función y[k] sea absolutamente sumable en el intervalo - < k <, es decir:

k=-∞∞yk<∞

Si bien existen funciones que no cumplencon esta condición, a pesar de ello poseen transformada de Fourier discreta.

A continuación se muestran algunos ejemplos para ver cómo se obtiene la transformada de Fourier discreta para un delta de Kronecker, para una secuencia constante y para una exponencial decreciente discreta.

Ejemplo C.8. Consideremos primero la secuencia

yk=dkk=1 ;k=00 ;k≠0

Es decir, un delta de Kronecker.Esta secuencia es absolutamente sumable, por tanto se cumple la condición suficiente para la existencia de su transformada discreta. Si calculamos ésta usando la definición tenemos que la serie infinita se traduce en un solo término

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO 375

Yejθ=k=-∞∞dk[k]e-jθk
=dk[0]e-jθ0
=1

Es decir, su transformada de Fourier discreta es constante. Podemosinterpretar esto de manera análoga al delta de Dirac en tiempo continuo, cuya transformada también es constante y representa un espectro plano, o igual contenido de frecuencias en todo el espectro.

Ejemplo C.9. Consideremos ahora el caso opuesto en que tenemos una secuencia constante que se escoge de amplitud uno por simplicidad. Es decir, la secuencia que nos interesa es

y[k] = 1 ∀k∈ZEsta secuencia no es absolutamente sumable, ya que

k=-∞∞→∞

Sin embargo, si usamos la definición de la transformada tenemos que

Yejθ=k=-∞∞1∙e-jθk

En que la serie al lado derecho podemos interpretarla como una representación en serie exponencial de Fourier de alguna función periódica, en que el coeficiente es Ck = 1 , para todo k. Si recordamos, el coeficiente Ck en una serie de Fourierexponencial para una función periódica f() se calcula como

Ck=1T-T2T2f(θ)ej2πTkθ

Con lo que la función se expresa como

fθ=k=-∞∞Ck∙e-j 2πTkθ

De aquí podemos observar que el periodo de la función periódica debe ser T = 2, y para que la integral que define a Ck sea unitaria basta que la función, dentro del intervalo [-,] sea un delta Dirac de amplitud 2, centrado en = 0.

C.2.2.Propiedades de la transformada de Fourier discreta
A continuación se detallan una serie de propiedades de la transformada de Fourier discreta que resultan útiles para la obtención de algunas transformadas y para el análisis de sistemas.

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO 377

Lema C.9. Linealidad

La transformada de Fourier discreta es una transformación lineal, es decir, si y1[k] ey2[k] son dos secuencias definidas ∀k∈Z, cuyas transformadas de Fourier son Y1(ejθ) e Y2(ejθ) respectivamente, entonces

Fdαy1k+βy2k=αY1ejθ+βY2(ejθ)

Demostración

Es directa de la definición de la transformada (C.18), ya que

Fdαy1k+βy2k=k=-∞∞(αY1[k]+βY2[k])e-jθk
=αk=-∞∞y1ke-jθk+βk=-∞∞y2ke-jθk
=αY1ejθ+βY2(ejθ)

Lema C.10. Corrimiento en el tiempo.

Sea y[k] una secuencia de tiempodiscreto definida ∀k∈Z, cuya transformada de Fourier es Y (ejθ), y sea k0 un número entero, entonces

Fdyk-k0=e-jθk0Y(ejθ) k0∈Z

Demostración
Consideremos la definición de la transformada (C.18), y tomemos k0∈Z, entonces

Fdyk-k0=k=-∞∞yk-k0e-jθk

Sea k - k0 = l, entonces k = l + k0 y reemplazando en la sumatoria

Fdyk-k0=l=-∞∞yle-jθ(l+k0)
=e-jθk0l=-∞∞yle-jθl
=e-jθk0Y(ejθ)

Lema...