Unidad 3 aplicaciones d ela integral

UNIDAD III APLICACIONES DE LA INTEGRAL

3.1 CÁLCULO DE ÁREAS
Para calcular un área plana, se efectúa la siguiente metodología:
1. Se trazan las curvas que limitan el área que se desea conocer.
2. Se identifican los puntos en los que se cortan las curvas.
3. Se determina la zona de la que hay que calcular el área.
4. Se decide que variable conviene integrar
5. Se procede a integrar bajolos límites encontrados.

El problema del cálculo del área
Uno de los problemas que más repercusión ha tenido en la historia de las matemáticas es el
Del estudio del área encerrada bajo una curva, pues tiene una aplicación inmediata en
Algunos problemas de física.
Ejemplo: Consideremos un cuerpo que se mueve con una velocidad constante de 3m/s. La
Gráfica velocidad-tiempo del cuerpo es larepresentada en el dibujo. Calcular el espacio
Recorrido por el cuerpo entre t = 0 y t = 6, con las fórmulas de física conocidas. Estudiar la
Relación que existe entre este resultado y el área encerrada por las rectas t = 0, t = 6, v = 0 y
v = 3.

3.1.1 Área bajo la grafica de una función
Sea una función continua en el intervalo   ,   tal que toma solo valores NO negativos en dicho intervalo  ( ).

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el área comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones     y   ,   la grafica de la función y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:

Esta área es el valor de la integral entre y de y la denotamos por:

Esta integral se trata de una integraldefinida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones (el conjunto de primitivas de la función que se integra).

Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteábamos (el cálculo de dicha área).

Dividimos el intervalo     en intervalos de la misma longitud   . Los límites de estos intervalos máspequeños son:

Dónde  .

Para     construyamos el rectángulo cuya base es el intervalo     y cuya altura es de longitud   .

Haciendo esto para   ,   terminamos con rectángulos. La suma de sus áreas es una aproximación al área bajo la grafica de que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea mejor aproximación será la suma de las áreas de los rectángulos a   .

Así, cuando  :Uno podría esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectángulos, por ejemplo   :

Llamemos     a la suma de los rectángulos así construidos. Se tiene que:

Es decir,     tiende a    cuando el número de rectángulos, tiende a infinito.

En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función toma valores NO negativos en elintervalo   .   ¿Que pasaría si tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿Como podemos calcular el área comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones     y   ,   la grafica de la función y el eje X?

Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso     sería aplicable al caso     , pero ahora:

Y el área sobre la grafica de la función es

Siendo la integral definida    NO positiva porque   .
3.1.2 Área del recinto limitado por dos funciones
En este apartado vamos a calcular el área de recintos planos más generales que los
Estudiados en los apartados anteriores.
Uno de los problemas que suele plantearse es la determinación exacta de la región cuya área
Queremos calcular. Como norma conviene, siempre que sea posible, hacer una
Representación lo másaproximada posible de dicha región o recinto.
Sean f y g dos funciones continuas en [a,b]. Supongamos que sus gráficas se cortan en [a,b]
Para x = a1, x = a2, ..., x = an, con lo que determinan n+1 regiones R1, R2,..., Rn+1.
3.2 LONGITUD DE CURVAS PLANAS
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más...