unidad 3- ecuaciones diferenciales

Unidad 3: Transformada de Laplace

3.1 Teoría preliminar.
3.1.1 Definición de la transformada de Laplace.
Las transformadas de Laplace fueron formuladas para transformar una ecuación diferencial que contiene las diferenciales de una función indefinida, a partir de una ecuación t-espaciada hacia una ecuación s-espaciada que puede ser resuelta con mucha facilidad. También pueden ser utilizadaspara resolver un sistema de ecuaciones diferenciales. Están dirigidas a una amplia gama de problemas de valor inicial.
La transformada de Laplace se denomina a veces transformada operacional; esto es porque transforma las operaciones de integración en simples operaciones algebraicas que son mucho más convenientes de resolver. Después de la cual la aplicación de la técnica de la transformadainversa produce la solución exacta para la ecuación diferencial dada. El procedimiento completo puede demostrarse como,
Matemáticamente, la transformada de Laplace puede definirse como: “Para una función dada f(t), la transformada de Laplace se define como la integración de los productos de esa función con el núcleo de la transformación cuyos límites de integración son[0, )”.

3.1.2 Condicionessuficientes de existencia para la transformada de Laplace.
Antes de establecer las condiciones para la existencia de la transformada de Laplace es esencial entender dos conceptos fundamentales que constituyen la base de la transformada de Laplace. Estos son:
1. Función continua a trozos: Se dice que una función es a trozos o seccionalmente continua en un intervalo finito a 0
2. t = 1/ s2 s > 03. tn= n!/ sn + 1 s > 0
4. eat = 1/ (s – a) s > a
5. sin (wt) = w/ (s2 + w2) s > 0
6. cos (wt) = s/ (s2 + w2) s > 0
7. t sin (wt) = 2ws/ (s2 + w2)2 s > 0
8. t cos (wt) = s2 - w2/ (s2 + w2)2 s > 0
Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para obtener la transformada directa de Laplace de una función determinada.
Obtén la transformada directa de Laplace de f(t) = 1 siendo t siempre mayor que uno.L{f(t)} = e-stf(t) dt
L(1) = e-st(1) dt
L(1) = e-stdt
L(1) = - (1/ s) e-st (-sdt)
L(1) = - (1/ s) [e-st
L(1) = - (1/ s) [1/ est
L(1) = - (1/ s) [(1/ ) – (1/ e0)]
L(1) = - (1/ s) [0 - 1]
L(1) = 1/ s








3.3 Transformada inversa.
Si la transformada de Laplace de una función f(t) es F(s), esto es,

Entonces f(t) se denomina la transformada inversa de Laplace de F(s) y seescribe como,

Aquí L-1 es llamado el operador de la transformada inversa de Laplace. Aunque existe una fórmula de inversión compleja la cual proporciona un medio directo para determinar la transformada inversa de Laplace de una función, esta implica un conocimiento amplio de la integración compleja. Sin embargo, no es posible encontrar una transformada inversa de Laplace de todas las funciones poreste camino.
Un punto interesante a destacar aquí es que la transformada inversa de Laplace de una función puede no ser única. Por ejemplo, sabemos que la transformada de Laplace de f(t) = 1 es 1/ s. Sin embargo, existe una función más para la que la transformada de Laplace resulta en el mismo término, esta es:
f(t) = 1 si 0 < t < 3
−8 si t = 3
1 si t > 3
Por lo tanto, se puede concluir quela transformada inversa de Laplace de 1/s resulta para dos funciones como se describe anteriormente. Sin embargo, entre las dos, sólo f(t) = 1 es continua, por lo tanto, f(t) = 1 es la única función que tiene la transformada de Laplace como 1/ s.
También es posible escribir una transformada inversa de Laplace en la forma de integración, la cual es llamada integral de Fourier Millen o integralBromwich o fórmula inversa de Millen. Se trata de una integral de línea y es denotada como:

Esta integración de la línea es continua con respecto a la ecuación de la recta Re(s) =. Esta es una recta vertical situada en un plano complejo y el valor de es siempre mayor que la parte real de las singularidades de la función F(s)de Laplace. Esto es porque el trazado del contorno siempre debe...