Unidad 3 ecuaciones diferenciales

Unidad 3 Transformada de Laplace
3.1 Teoría preliminar
3.1.1 Definición de la transformada de Laplace
Las transformadas de Laplace fueron formuladas para transformar una ecuación diferencial que contiene las diferenciales de una función indefinida, a partir de una ecuación t-espaciada hacia una ecuación s-espaciada que puede ser resuelta con mucha facilidad. También pueden ser utilizadas pararesolver un sistema de ecuaciones diferenciales. Están dirigidas a una amplia gama de problemas de valor inicial.
La transformada de Laplace se denomina a veces transformada operacional; esto es porque transforma las operaciones de integración en simples operaciones algebraicas que son mucho más convenientes de resolver. Después de la cual la aplicación de la técnica de la transformada inversaproduce la solución exacta para la ecuación diferencial dada. Matemáticamente, la transformada de Laplace puede definirse como: “Para una función dada f(t), la transformada de Laplace se define como la integración de los productos de esa función con el núcleo de la transformación cuyos límites de integración son[0, )”.
Aquí, el kernel de la transformada es e-st, donde t es el parámetro deentrada de la función valorada real y s es el parámetro de la función compleja nueva, la cual es el resultado de la transformada de Laplace. La función de entrada se define en el intervalo cerrado [0, ). La notación convencional de la transformada de Laplace es L{f(t)} o F(s).

Existen dos pre-requisitos que deben cumplirse con el fin de tener una transformada de Laplace de la función de entrada.Estos son:
1. La entrada de la función valorada real debe ser una función a trozos que esté continuamente definida por el intervalo cerrado [0, ).
2. A medida que el valor de t se aproxima a cero, la función debe alcanzar el orden exponencial. En términos simples, debe existir una constante de tres términosa, K, t donde,

Sin embargo, estos dos pre-requisitos no son condiciones necesarias sinosuficientes.
Una transformada de Laplace puede considerarse como un superconjunto de la representación Fasor, ya que se compone de una parte real y una parte compleja. La parte real de la transformada de Laplace se utiliza para representar la parte transitoria, mientras que la parte compleja se utiliza para representar la respuesta de la posición estática. Sin embargo, también es posibleutilizarla para modelar la tasa de variación de algún sistema.
A continuación se mencionan los pasos para aplicar la transformada de Laplace:
1. El primer paso es transformar el dominio de la ecuación diferencial dada. Esto se hace mediante la sustitución de d/ dt con s, el cual es el parámetro de la ecuación transformada.
2. Ahora, haciendo uso de la tabla Laplace transforma la función de entradaen el dominio de s.
3. Haz uso de los métodos algebraicos para combinar la función de transferencia con la función de entrada con el fin de determinar la función de salida.
4. Factoriza la función de salida con la ayuda de la técnica de fracciones parciales.
5. Ahora usa la transformada inversa y transforma el dominio de la solución de nuevo al dominio t.
Demos un vistazo a un ejemploilustrativo para entender claramente el concepto.
q’ - 6q’ + 15q = 2sin (3t) given y(0) = −1 y’(0) = −4
s2Y(s) – sy(0) – y’(0) −6(sY(s) –y(0)) +15Y(s) = 2[3/ s2 + 9]
Y(s) = [-s3 +2s2 −9s + 24]/ [(s2 + 9) (s2 −6s + 15)]
Y(s) = [As + B]/ [(s2 + 9)] + [Cs + D]/ [(s2 −6s + 15)]
-s3 +2s2 −9s + 24 = (As + B)(s2 −6s + 15) + (Cs + D)[(s2 + 9)
= (A + C)s3 + (−6A + B + D)s2 + (15A – 6B + 9C)s + 15B+ 9D
A = 1/10
B = 1/10
C = -(11/10)
D = 5/2
Y(s) = (1/10){[s + 1]/[(s2 + 9)] + [−11s + 25]/[(s2 −6s + 15)]}
Y(s) = (1/10){[s]/[(s2 + 9)] +[1.(3/3)]/[(s2 + 9)] – [11(s – 3)]/ [(s – 3) + 6] – [8.( )]/[(s – 3) + 6]}
y(t) = (1/10){cos (3t) +1/3 sin (3t) – 11e3tcos ( t) – 8/ e3t sin ( t)}
3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace
Antes de establecer...