UNIDAD II ALGEBRA

UNIDAD II
Solución numérica de ecuaciones algebraicas y trascendentes

Una ecuación trascendente es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que aparecen una o más incógnitas relacionadas mediante operaciones matemáticas, que no son únicamente algebraicas, y cuya solución no puede obtenerse empleando solo las herramientas propias del álgebra
Una ecuación que no se reduce a unaecuación algebraica mediante transformaciones algebraicas se denomina ecuación trascendente. O de otra manera, una ecuación H(x) = j(x) se llama trascendente, si por lo menos una de las funciones H(x) o j(x) no es algebraica.
EjemploS
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8.  2
Transformación algebraica
e entiende las siguientes transformaciones:
1. La adición a ambos miembros de la ecuación una misma expresiónalgebraica
2. La multiplicación de ambos miembros de la ecuación por una misma expresión algebraica.
3. La elevación de ambos miembros de la ecuación mediante un exponente racional3
Las ecuaciones trascendentes más simples son las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales El término trascendente se refiere a que la ecuación o su resolución va más allá del álgebra; trasciende el álgebra
Lassoluciones de muchas ecuaciones trascendentes se han obtenido tradicionalmente (antes de la aparición de los ordenadores) por métodos numéricos, aproximando la solución mediante iteraciones sucesivas.
2.1 Métodos iterativos

Aplicar un método iterativo para la resolución de un sistema S  Ax=b, consiste en transformarlo en lo que se denomina un sistema de punto fijo, que sea equivalente al dado ycuya solución se aproxima paso a paso.
Para obtener el sistema de punto fijo equivalente al dado se elige una matriz M que sea fácil de invertir y escribimos la matriz A como:
A = M + (A – M), 
Si designamos N = M‐A, nos queda  Mx = Nx + b  (*).
La aproximación k‐ésima de la solución, x (k), se obtiene, en la iteración k, a partir de la aproximación anterior  x (k‐1)  
Mx(k) = Nx(k‐1) + b
Cuandoeste proceso es convergente el límite de las aproximaciones x (k) cuando k es la solución del sistema de punto fijo planteado y, en consecuencia, del sistema S inicial.
En cada iteración, el sistema (*) es fácil de resolver si M es diagonal o triangular. Por otro lado, es conveniente que M no sea muy diferente de A.
Las tres opciones para M que presentan mejores resultados son:
 M = D , dondeD es la matriz diagonal cuya diagonal es la de A  (Método de Jacobi)
 M = L+D, donde L+D es la parte triangular inferior de A  (Método de Gauss‐Seidel)
 M = L+D/, donde  es un número elegido para ponderación  (Método de Sobre relajación)
El Método de Gauss‐Seidel es un caso particular del de Sobre relajación cuando se toma  = 1. El método de Sobre relajación con 0 <  1 para acelerar laconvergencia cuando Gauss‐Seidel converge.
 Trata de resolver un problema (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial.
Considere el problema de encontrar una raíz a una ecuación cuadrática, por ejemplo:
                                              f(x) = x2 − x − 2 = 0
Un método directo para resolverlo esaplicar la fórmula general

Un método iterativo consta de los siguientes pasos.

1. inicia con una solución aproximada (Semilla).
2. ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir una mejor aproximación partiendo de la aproximación semilla. La fórmula que permite construir la aproximación usando otra se conoce como ecuación de recurrencia.
Esta aproximación contrasta con los métodosdirectos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A). Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.
Ventajas y...