UNIDAD V ALGEBRA LINEAL

UNIDAD V “TRANSFORMACIONES LINEALES”
Introducción
Las transformaciones lineales dentro del álgebra lineal no solo juegan un papel importante por ser casos especiales de funciones definidas sobre espacios vectoriales si no porque aparecen en diversas áreas de la matemática tanto a nivel teórico como aplicado. El estudio de éste concepto aparece en el temario de los primeros cursos de álgebralineal de las carreras de ingeniería y de matemáticas en donde los alumnos se enfrentan con los distintos lenguajes abstractos propios del álgebra lineal se aborda al álgebra lineal de modo expositivo, el cual puede no dar el tiempo suficiente para que los alumnos construyan sus conocimientos de forma adecuada.

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector paraconvertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales sepueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienengran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
DESARROLLO
INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V −→ W una funci´on. Diremos que T es una transformaci´on lineal si para cualesquiera u, v ∈ V y α ∈ R se cumple que
1. T(u + v) = T(u) + T(v).
2. T(αu) = αT(u).
Ejemplo 5.11. Sean V y W dos espacios vectoriales. Latransformaci´on O : V −→ W, dada por O(v) = 0 / W para cada v ∈ V, es una transformaci´on lineal (¡pru´ebelo!), llamada transformaci´on nula. 2. Sea V un espacio vectorial. Definamos IV : V −→ V como sigue, IV(v) = v para cada v ∈ V. Entonces IV es una transformaci´on lineal, la cual es llamada transformaci´on identidad sobre V. 3. Sean V un espacio vectorial de dimensi´on n y β una base ordenada deV. Entonces T : V −→ Mn×1(R) dada por T(v) = [v]β es una transformaci´on lineal
4. T : R3 −→ R2, dada por T(x, y, z) = (2x + y, x − z), es una transformaci´on lineal, en efecto, dados (x, y, z),(a, b, c) ∈ R3 y α ∈ R, se tiene que T((x, y, z) + (a, b, c)) = T(x + a, y + b, z + c) = (2(x + a) + (y + b),(x + a) − (z + c)) = (2x + 2a + y + b, x + a − z − c) = (2x + y, x − z) + (2a + b, a − c) =T(x, y, z) + T(a, b, c)
T(α(x, y, z)) = T(αx, αy, αz) = (2(αx) + (αy),(αx) − (αz)) = (α(2x + y), α(x − z)) = α(2x + y, x − z) = αT(x, y, z)
5. La funci´on T : R2 −→ R3 dada por T(x, y) = (x2 , x + y, xy) no es una transformaci´on lineal, en efecto, T(1, 0) = (12 , 1 + 0, 1 · 0) = (1, 1, 0) T(2(1, 0)) = T(2, 0) = (22 , 2 + 0, 2 · 0) = (4, 2, 0) 2T(1, 0) = 2(1, 1, 0) = (2, 2, 0) 6= (4, 2, 0) = T(2(1,0))
6. T : P2[x] −→ R2 dada por T(a + bx + cx2) = (2a + c + 3, b − c) no es una transformaci´on lineal, en efecto, T(0) = (2 · 0 + 0 + 3, 0 − 0) = (3, 0) T(0) + T(0) = (3, 0) + (3, 0) = (6, 0) T(0 + 0) = T(0) = (3, 0) 6= (6, 0) = T(0) + T(0)
7. Consideremos T : M2×2(R) −→ P3[x] dada por T "a b c d #! = a + bx + cx2 + dx3 Entonces T es lineal.
8. T : R3 −→ P3[x] dada por T(a, b, c) = b + (2a +c)x + (b − 3c)x3 es lineal. En efecto, sean u, v ∈ R3 y α ∈ R cualesquiera, con u = (a1, b1, c1) y v = (a2, b2, c2). Entonces
T(u + v) = T((a1, b1, c1) + (a2, b2, c2))
= T(a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2)
= (b1 + b2) + [2(a1 + a2) + (c1 + c2)]x + [(b1 + b2) − 3(c1 + c2)]x3
= (b1 + b2) + (2a1 + 2a2 + c1 + c2)x + (b1 + b2 − 3c1 − 3c2)x3
= [b1 + (2a1 + c1)x + (b1 − 3c1)x3 ] + [b2 + (2a2 + c2)x + (b2...