Algebra Lineal Unidad Iv y V

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TIERRA BLANCA

NOMBRE DEL PROFESOR:
Ing. Oscar Castro Urrutia

NOMBRE DE LA MATERIA:
Algebra Lineal

PROYECTO:
Investigación de las unidades IV y V

Fecha de entrega:
07 mayo 2011

Integrantes del equipo:
ISC
202-C

* Índice
Página

Presentación
Índice
Introducción…………………………………………………………………………3Desarrollo…………………………………………………………………………....4

UNIDAD IV
Tema 4
Espacios vectoriales

4.1 Definición de espacio vectorial……………………………………………………….4
4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades……………………………5
4.3 Combinación lineal. Independencia lineal……………………………………….....7
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base…………………….9
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades……………………....10
4.6Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt…………….11

UNIDAD V

Tema 5
Transformaciones lineales

5.1 Introducción a las transformaciones lineales……………………………………...14
5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal…………………………………...15
5.3 La matriz de una transformación lineal…………………………………………… 18
5.4 Aplicación de las transformaciones lineales:
Reflexión, dilatación,contracción y rotación……..24

Conclusión………………………………………………………………………...26
Hemerografía/ Bibliografía………………………………………………...….... 27


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* Introducción
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizansobre un vector para convertirlo en otro vector.
Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otrasramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

Tema 4
Espacios vectoriales

4.1Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se lesllamará escalares.

Un espacio vectorial es una terna (V,+, *), donde V es un conjunto no vacío y +, * son dos operaciones del tipo +: V × V → R, *: R × V → V a las que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con las siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u + v y * (λ, v) = λv,

1) u + (v + w) = (u + v) + w, ∀u, v, w ∈V (asociativa).
2) u + v = v + u,∀u, v ∈V (conmutativa).
3) Existe e ∈V tal que e + v = v + e = v, ∀v ∈V (elemento neutro).
4) Para cada v ∈V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento opuesto).
5) λ (μv) = (λμ) v, ∀v ∈V, ∀λ, μ ∈R (seudo-asociativa).
6) λ (u+ v) = λu+ λv y (λ+ μ) v = λv + μv, ∀u, v ∈V y ∀λ, μ ∈R (distributiva).
7) 1v = v, ∀v ∈V (unimodular).

De forma abreviada, diremos que V es un espaciovectorial. A los elementos de V lo llamamos vectores y a los de R, escalares.

* Proposición 4.1.1

En un espacio vectorial V:
* El elemento neutro es único. Se denotará por 0.
* El elemento opuesto de un vector es único. Si v es un vector, su opuesto lo denotamos por −v.

* Proposición 4.1. 2

En un espacio vectorial se tiene las siguientes...