valor medio w

1. Teorema del Valor Medio

Teorema de
Valor Medio en
Rn

Teorema del Valor . . .

Uno de los teoremas m´as importantes del c´alculo diferencial de funciones reales de una variable
real es el Teorema del Valor Medio, del que se obtienen consecuencias como el Teorema de Taylor
y el estudio de extremos de una funci´on.
Este teorema se puede generalizar para funciones vectoriales de variasvariables.
Empezamos por recordar el Teorema del Valor Medio en el caso de funciones reales de una
variable:
Sea f : [a, b] −→ R una funci´on continua, derivable en (a, b); existe un punto c ∈ (a, b) tal
que
f (b) − f (a) = f (c)(b − a)

o

f (b)
α

f (a)

α
a

c

b

f (c) =

f (b) − f (a)
b−a

Geom´etricamente esto significa
que hay un punto del intervalo en
el que la recta tangente a la
gr´afica de ftiene la misma
pendiente que la recta secante que
pasa por los puntos (a, f (a)) y
(b, f (b))

Teorema de
Valor Medio en
Rn

Otro ejemplo: Si f (t) representa la longitud que hemos recorrido hasta el instante t, la
(a)
velocidad media entre t = a y t = b es f (b)−f
, y la velocidad en un instante t es f (t). Seg´un
b−a
el teorema del valor medio, si la velocidad media es de 60 km/h, en alg´uninstante entre a y b
hemos circulado exactamente a 60 km/h.
En el caso de funciones vectoriales, F : [a, b] −→ Rm , (m > 1) parece f´acil generalizar el
teorema: podr´ıamos estudiar si existe un punto c en (a, b) en el que la recta tangente a la imagen
de F sea paralela a la recta que pasa por F (a) y por F (b)
F (c) =

F (b) − F (a)
∈ Rm
b−a

a

F c)

F c)

Teorema del Valor . . .

c

F (b)
F

b

F(a)

El dibujo parece convincente, sin embargo el resultado no es cierto:
Consideremos la funci´on F (x) = (x2 , x3 ) definida en el intervalo [0, 1]. Buscamos un punto
x ∈ [0, 1] que verifique
F (1) − F (0) = F (x)(1 − 0)
Teorema de
Valor Medio en
Rn

donde F (1) = (1, 1), F (0) = (0, 0), y F (x) = (2x, 3x2 ). La ecuaci´on anterior es realmente un
sistema de dos ecuaciones, una por cada coordenada1 − 0 = 2x
1 − 0 = 3x2

Teorema del Valor . . .

√
que no tiene soluci´on, ya que tendr´ıa que ser x = 1/2 y x = 1/ 3 a la vez.
En cambio el teorema si se puede generalizar al caso de funciones reales de varias variables,
y es lo que vamos a demostrar en este cap´ıtulo.
Utilizaremos en el teorema el segmento entre dos puntos: dados x e y en Rn , el segmento
[x, y] de x a y es el conjunto depuntos
[x, y] = {x + t(y − x); t ∈ [0, 1]} = {ty + (1 − t)x; t ∈ [0, 1]}

Teorema de
Valor Medio en
Rn

Teorema (Teorema del Valor Medio en Rn).
Sea U un conjunto abierto de Rn, y f : U :−→ R una funci´on
diferenciable en todo U . Sean x e y dos puntos de U tales que el
segmento [x, y] est´e totalmente contenido en U . Entonces existe un
punto z ∈ [x, y] tal que
f (y) − f (x) = df (z)(y − x) =< ∇f (z),y − x >
Demostraci´on:

(Saltar al final de la demostraci´on)

Teorema del Valor . . .

x + t(y − x)
x

y

Escribimos el segmento [x, y]
como imagen de una funci´on:
Sea Φ : [0, 1] −→ Rn definida por
Φ(t) = x + t(y − x). Φ es
continua, su imagen es el
segmento [x, y], y es diferenciable,
con dΦ(t) = (y − x) en cualquier
punto t ∈ [0, 1].

Para estudiar el comportamiento de f sobre el segmento,consideramos la composici´on de las

dos funciones, g(t) = f ◦ Φ(t). Esta funci´on g es ahora una funci´on de [0, 1] en R, continua y
derivable, por lo que podemos aplicar el teorema del Valor Medio para ese tipo de funciones, y
tenemos
g(1) − g(0) = g (c)(1 − 0) = g (c)
Teorema de
Valor Medio en
Rn

donde c es alg´un punto en [0, 1].
Ahora bien, g(1) = f (Φ(1)) = f (y), g(0) = f (Φ(0)) = f (x), yaplicando la regla de la
cadena
dg(c) = df (Φ(c)) ◦ dΦ(c)

Teorema del Valor . . .

es decir, escribiendo la igualdad entre las matrices correspondientes
g (c) =< ∇f (Φ(c)), y − x >
Sustituyendo en la ecuaci´on anterior queda
f (y) − f (x) =< ∇f (Φ(c)), y − x >
donde Φ(c) = z es un punto de [x, y], lo que prueba el resultado.
(Volver al enunciado)

Como hemos visto por el ejemplo antes del...