Vecores y valores propios

UNIDAD  “VALORES Y VECTORES PROPIOS” 
  En  esta  unidad  se  presentan  valores  propios,  vectores  propios.  También  se  analiza  la  diagonalización de matrices.    vectores propios, autovectores o eigenvectores: Sea A una matriz de  n  n . Se dice que un  escalar    es un valor propio de A si existe en  R n  un vector  x , distinto de cero, tal que 

Ax  x  
El vector  x es el vector propio correspondiente a     Cálculo de valores y vectores propios   Sea A una matriz de  n  n  con el valor propio    y su correspondiente vector propio  x.   Tal que  Ax  x ,  Esta ecuación puede reescribirse como  ( A  I n ) x  0   Esta  ecuación  representa  un  sistema  de  ecuaciones  lineales,  cuya  matriz  de  coeficientes  es 

( A  I n ) . 
Al resolver la el determinante  A I n  se obtiene el polinomio en   .  A este polinomio se le  llama  polinomio  característico  de  A.  A  la  ecuación    A  I n  0   se  le  llama  ecuación  característica de A  Al resolver  A  I n  0  para   , se encuentran los valores propios de A    Ejemplo 1:  Encuentre los valores y vectores propios de la matriz: 

2 8 A    4 6
  Solución:  Paso 1 Obtener el polinomio característico de A    A  I 2  

8  2 8 1 0 2        0 1    4 6     4 6   

A  I 2  2   6     4 8   2  8  12  32   2  8  20  
Paso 2. Resolver el polinomio característico  

2  8  20    2  10  
Por lo tanto los valores propios de A son: 10 y ‐2  Para  encontrar  los  vectores  propios    se  sustituyen  los  valores propios  en  la  ecuación 

( A  I 2 ) x  0  
Para cada valor propio hay muchos vectores propios correspondientes   Usando λ = ‐2 se tiene  ( A  2I 2 ) x  0  

8   x1  2  2 ; 0 6  2  x 2   4    
Resultando el siguiente sistema de ecuaciones 

4 x1 4 x1

 8 x2  0  8 x2  0

 

De  donde  se  obtiene  x1  2x2 .  Las    soluciones  de  este  sistema  son  x1  2r  y  x2  r  

donde  r  es un escalar. Por lo tanto los vectores propios de A que corresponde a λ=‐2 son los  vectores distintos de cero de la forma     r

 2   1 

Usando λ = 10 se tiene  ( A  10I 2 ) x  0  

8   x1  2  10 ; 0 6  10  x 2   4    
Resultando el siguiente sistema de ecuaciones 

 8 x1 4 x1

 8x2  0  4 x2  0

 

De donde se obtiene  x1  x2. Las  soluciones de este sistema son  x1  s   y  x2  s  donde  s   es un escalar. Por lo tanto los vectores propios de A que corresponde a λ=10 son los vectores  distintos de cero de la forma  

1 s      1
Ejemplo: Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz 

5 4 2  4 5 2      2 2 2  
Solución:   Paso 1 Obtener el polinomio característico de A 

45 4 2 1 0 0 5    4 5 2    0 1 0    4 5   A  I 3        2 2 2 0 0 1   2 2     
A  I 3  3  12 2  21  10
 

2  2    2   

Paso 2. Resolver el polinomio característico  

3  122  21  10    1  10(  1)  
Por lo tanto los valores propios de A son: 10 y 1  Para  encontrar  los  vectores  propios    se  sustituyen  los  valores propios  en  la  ecuación 

( A  I 3 ) x  0  
Para cada valor propio hay muchos vectores propios correspondientes   Usando λ = 10 se tiene  ( A  10I 3 ) x  0  

2   x1   5 4  4  5 2 x   0 ;  2    2 2  8  x3    
Solucionando el sistema  

 

2 0  5 4 ;  4  5 2 : 0   2 2  8 0      

1 0  2 0 ; 0 1  2 : 0    0 0 0 0     Resulta el siguiente sistema de ecuaciones 

x1 x2

 2 x3  0    2 x3  0

De donde se obtiene  x1  2x3 . ;  x 2  2x3   Las  soluciones de este sistema son  x1  x2  2r   y  x3  r  , donde  r  es un escalar. Por lo tanto los vectores propios de A que corresponde a  λ=10 son los vectores distintos de cero de la forma  

 2    r 2     1   
Usando λ = 1 se tiene  ( A  I 3 )...