vibraciones mecanicas

INTRODUCCIÓN
El término matemáticas aplicadas se refiere a aquellos métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis o resolución de problemas pertenecientes al área de las ciencias básicas o aplicadas. Además, se usan con frecuencia en distintas áreas tecnológicas para modelado, simulación y optimización de procesos o fenómenos, como el túnel de viento o el diseño deexperimentos
En este estudio se presentarán las ecuaciones diferenciales lineales de coeficiente constantes que aparecen como modelos matemáticos tanto en circuito RLC como en los sistemas de vibraciones mecánicas. Las cuales, desempeñan un papel vital para su modelación, en la asignatura de controles automático, donde se “modelan" distintos fenómenos de la ingeniería mediante ecuacionesdiferenciales.
Dentro de este contexto, las ecuaciones diferenciales validan mediante modelos un principio fundamental de la física que establece que los sistemas físicos tienden a estar en una posición de mínima energía potencial denominada posición de equilibrio y si, por alguna razón, el sistema es forzado .a salir de ese equilibrio, entonces tenderá a regresar a él.
Veamos con cierto detalle el casode las vibraciones mecánicas. Concretamente vamos a analizar el movimiento de una masa unida a un muelle y a un amortiguador sobre la que actúa una fuerza externa como mostramos en el siguiente dibujo:

X (t), representa el desplazamiento de la masa con respecto a su posición de reposo. Y sobre el bloque de masa m actúan tres fuerzas:
La fuerza restauradora del muelle que, de acuerdo con la leyde Hooke, es proporcional al desplazamiento de la masa con respecto a su posición de reposo y viene dada por kx, siendo k > 0 la constante de elasticidad del muelle.
La fuerza ejercida por el amortiguador, la cual es una fuerza proporcional a la
velocidad -c(t), siendo c ≥ 0 la constante de amortiguamiento.
Y último, hay una fuerza externa F (t)
Aplicando la ley de Newton, concluimos que: mx″=-kx -cx′+ F(t) . Es decir, el movimiento de la masa viene modelado por:
mx″+ cx′+ kx = F (t)


Cuando la constante c es cero, el movimiento se llama no amortiguado. Si por el contrario c >0, lo llamaremos movimiento amortiguado. En el desarrollo de la lección, a este tipo de ecuaciones con movimiento libre las llamaremos homogéneas. Igualmente, cuando no hay una fuerza externa actuando sobre elsistema, diremos que el movimiento es libre o natural y si F (t) no es la función nula, llamaremos al movimiento forzado











1. MODELO MECÁNICO.
Tomando en cuenta lo anterior, el movimiento de una masa unida a un muelle y a un amortiguador sobre la que actúa una fuerza externa F (t) viene dada por:
mx″+ cx′+ kx = F (t)
Donde c ≥ 0 y k > 0. A continuación, aplicamos lo estudiado enesta sección para analizar el comportamiento de la masa. Observemos que la ecuación homogénea asociada es de coeficientes constantes. Por tanto, tenemos las herramientas necesarias para abordar el calculo de la solución tanto en el caso de movimiento libre como en el forzado. Para simplecar la notación, denotaremos (valor que llamaremos frecuencia natural) y p =c/2m. Con ello la ecuación sereescribe como:
x″+ 2px′+ ωo²x = F (t)/m
1.2 Movimiento libre.
Comenzamos por el caso mas simple, es decir, cuando no hay fuerza externa (F (t) = 0 para todo t). Con la terminología usada en la lección, estamos analizando una ecuación homogénea de coeficientes constantes.
Caso no amortiguado (c = 0). La ecuación del modelo se reduce a: x″+ ω²x = 0, y su solución general es: x(t) = A cos (ωt) + Bsen(ωt).
Siendo A y B dos constantes a determinar. La función x(t) se puede reescribir de la forma:
x(t) = C cos(ωt ─α ), donde C representa la amplitud de la onda periódica y el ángulo de
de fase α. Las ecuaciones respectivas son:
, y
Esta función x(t) = C cos(ωot ─α ), tiene período T y la frecuencia angular ω ,siendo la ecuacion: .
Si las condiciones...