N Meros Reales

Números reales
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.
La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.En matemáticas, los números reales (designados por ℝ) incluyen tanto a losnúmeros racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, elnúmero real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euleren el siglo XVIII.1
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Tipos de números reales
Racionales e irracionales
Un número real puedeser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, –21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansióndecimal aperiódica:
Ejemplos
1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).
es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Computables e irreductibles
Un número real se dice computable si tiene una complejidad de Kolmogórov finita, es decir, sipuede escribirse un programa informático de extensión finita que genere los dígitos de dicho número. Si un número real no es computable se dice irreductible. Una definición de número irreductible es:
El conjunto de números reales computables se designa por ℝcomp. Obviamente los racionales y los algebraicos son números computables. De hecho se tiene la siguiente inclusión:
ℚ ⊂  ⊂ ℝcomp
Además se tieneque todos estos conjuntos son numerables:
card|ℚ| = card|| = card|ℝcomp| = ℵ0
Esto implica que el conjunto de todos los números computables es un conjunto de medida nula.
Construcción de los números reales
Caracterización axiomática
Fue propuesto por el matemático alemán David Hilbert. En textos actuales de cálculo y análisis matemático aparecen enunciados equivalentes al de Hilbert.5
Artículoprincipal: Axiomas de los números reales
Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más común, el conocido como método directo que introduce el sistema (ℝ, +, ·, ≤), donde los elementos de ℝ se llamannúmeros reales, + y. son dos operaciones en ℝ, ≤ es una relación de orden en ℝ.6 Se presenta una variante axiomática, mediantelas siguientes tres propiedades:
Un conjunto (K, +, ·, ≤) es el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones:
(K, +, ·) es un campo.
(K, ≤) es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo:
Si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c;
Si a ≤ b y 0 ≤ c, entonces ac ≤ bc.
El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo:
Todoconjunto no vacío y acotado superiormente tiene unsupremo.
Construcción por números decimales
Consideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos
que , es decir, el número π se expresa como el número entero 3 y una secuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.
Un número decimal se expresa entonces como  donde  es un número entero y cada  es un elemento del...