T Derivada

La derivada

Y
Aplicaciones

Derivada:
La derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a la función en un punto
x0

Notación:
Denotamos como derivada de f(x) a f´(x) o

Donde

f ´ ( x) = lim
h®0

df dy
o
dx dx

f ( x + h) - f ( x)
h

De acuerdo a la grafica podemos observar:
Si

f ´ ( x) > 0 entonces
´

f ( x) < 0 entonces

Técnicas de Derivación

f ( x) es creciente
f ( x) esdecreciente

.

Algebra de Derivadas
Dado dos funcione f y g derivables en R, se tiene:

Ejercicios:

1.-

Sol:
2.-

Sol:
3.-

Sol:
4.-

Sol:

Análisis Marginal
En economía, el uso de la derivada para aproximar el cambio producido en una función
por el cambio de una unidad en su variable se denomina Análisis Marginal.
Si C(x) es el costo total de producir x unidades e I(x) el ingreso totalobtenido de la venta
de x unidades, entonces.
Costo Marginal= C , ( x) = costo de producir x+1 unidad
Ingreso Marginal= I , ( x) = Ingreso obtenido de la venta de x+1 unidad
Ejemplo1:
Un fabricante estima que cuando se producen x unidades de determinado artículo, el
1
1
costo total será C ( x) = x 2 + 3x + 98 dólares y que p( x) = (75 - x) dólares por unidad
8
3
es el precio al cual se venderá las xunidades.
o Halle el costo y el ingreso marginal.
o Emplee el costo marginal para calcular el costo de producir la novena unidad.

Ejemplo 2:
Dado las funciones de costo y precio al cual se venderán las x unidades
1
1
C ( x) = x 2 + 4 x + 57 p( x) = (36 - x) Determine:
5
4
o Halle costo e ingreso marginal.
o Utilice el costo marginal para determinar el costo de producir la cuarta unidad
o Encuentreel costo real de producir la cuarta unidad.

Regla de la cadena

Si g (u ) y h( x) son funciones derivables, entonces:

g(h( x)) ' = g ' (h( x))h' ( x)
Ejemplo:
Halle la derivada de la función
F(x)=

x 2 + 3x + 2

Solución
Usando regla de la cadena se tienen:
-1
1
F ' ( x) = ( x 2 + 3x + 2) 2 × (2 x + 3)
2
Ejercicios
Usando regla de la cadena derive las siguientes funciones:
1.-

2.-

3.-

4.-5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

Máximos y mínimos
Criterio de la primera derivada para intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Si f ' ( x) > 0 en el intervalo a < 0 < b , entonces f es creciente en ese intervalo.
Si f ' ( x) < 0 en el intervalo a < 0 < b , entonces f es decreciente en ese intervalo.

Punto Crítico:
Un punto crítico de una función es un punto de la grafica donde:
1.- La derivadaes cero.
2.- La derivada esta indefinida.
Los máximos y mínimos relativos de la función pueden ocurrir sólo en punto críticos.
Ejemplo:
Durante varias semanas el departamento de carreteras ha registrado la velocidad del flujo
del tráfico. Los datos señalan que entre la 1:00 y las 6:00 pm en un día normal de la
semana la velocidad del tráfico en al salida es: S (t ) = t 3 - 10,5t 2 + 30t + 20 millas, donde t
es el numero de horas después del medio día. ¿En qué momento es más rápido el trafico
y en que momento es más lento?
Solución:
El objetivo es hallar el máximo y el mínimo de la función en el intervalo 1 £ t £ 6 .
A partir de la derivada se obtiene

S ' (t ) = 3t 2 - 21t + 30 = 3(t 2 - 21 + 10) = 0 Þ t = 2 Ù t = 5
Obteniendo los intervalos de crecimiento se deduce que t=2 es máximo de lafunción y
t=5 es mínimo de la función.

2.- Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero
invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad
generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que
disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemosinvertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada
es positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva la función:
R`(x)=-0,004x+0,8
-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
R`(x)=0 ,
-Se estudia el signo de la...