Álgebra Lineal Ejercicios

Universad de Santiago de Chile Departamento de Matemáticas y Cs de la computación Ingenieria Matemática Algebra Lineal

Tarea N°4 Espacio Con Producto Interno

Profesor Ayudante Alumno Fecha

: : : :

Mauricio Allendes Yeremy Aguilera Wladimir Parada 25/05/2012

1. Defina la función , : R3 XR3 → R por x, y = x1 y1 + (x2 − x3 )(y2 − y3 ) + (x1 + x3 )(y1 + y3 ) , donde x = (x1 , x2 , x3 )y y = (y1 , y2 , y3 ) a) Demue re que , es un producto interno en R3 Solución:Sea u = (u1 , u2 , u3 ) y c un escalar, luego necesitamos probar lo siguiente: (i) x + u, y = x, y + u, y Linealidad (ii) cx, y = cx, y Ponderación por un escalar (iii) x, x ≥ 0 (iv) x, y = y, x (En los reales) Probaremos (i) y (ii) en una misma operación. por demo rar que: cx + u, y = c x, y + u, y cx + u, y = (cx1 +u1 )y1 + [(cx2 + u2 ) − (cx3 + u3 )][y2 − y3 ] + [(cx1 + u1 ) +(cx3 + u3 )][y1 + y3 ] = cx1 y1 + u1 y1 + [cx2 − cx3 + (u2 − u3 )][y2 − y3 ] +[cx1 + cx3 + (u1 + u3 )][y1 + y3 ] = cx1 y1 + u1 y1 + [c(x2 − x3 ) + (u2 − u3 )][y2 − y3 ] + [c(x1 + x3 ) +(u1 + u3 )][y1 + y3 ] = cx1 y1 + u1 y1 + c(x2 − x3 )(y2 − y3 ) + (u2 − u3 )(y2 − y3 ) +c(x1 + x3 )(y1 + y3 ) + (u1 + u3 )(y1 + y3 ) = cx1 y1 + c(x2 − x3)(y2 − y3 ) + c(x1 + x3 )(y1 + y3 ) + u1 y1 +(u2 − u3 )(y2 − y3 ) + (u1 + u3 )(y1 + y3 ) = c(x1 y1 + (x2 − x3 )(y2 − y3 ) + (x1 + x3 )(y1 + y3 )) +u1 y1 + (u2 − u3 )(y2 − y3 ) + (u1 + u3 )(y1 + y3 ) = c x, y + u, y

Por lo tanto cx + u, y = c x, y + u, y y cumple (i),(ii). ahora probaremos (iii),(iv) por demo rar que x, x ≥ 0 = x1 x1 + (x2 − x3 )(x2 − x3 ) + (x1 + x3 )(x1 + x3 ) = x1 2 + (x2 −x3 )2 + (x1 + x3 )2 ≥ 0

x, x

se cumple la desigualdad, en el caso que x = 0 cumple la igualdad. 1

Por demo rar que x, y = y, x x, y = x1 y1 + (x2 − x3 )(y2 − y3 ) + (x1 + x3 )(y1 + y3 ) = y1 x1 + (y2 − y3 )(x2 − x3 ) + (y1 + y3 )(x1 + x3 ) (conmutatividad del producto en los reales) = y, x

Por lo tanto concluimos x, y = y, x Con e o podemos decir que , es un producto interno en R3 d)Debemos ortonormalizar la base B con el producto interior dado. B= Por proceso de Grand-Smichdt tenemos 1 1 1 u1 = (1,1,1) = ( √5 , √5 , √5 ) ˆ (1,1,1) w2 = v1 − v2 , u1 u1 ˆ ˆ 1 1 1 1 1 1 w2 = (0, 1, −1) − (0, 1, −1), ( √5 , √5 , √5 ) ( √5 , √5 , √5 ) w2 = (0, 1, −1) − ( −2 , −2 , −2 ) = ( 2 , 7 , −3 ) 5 5 5 5 5 5 Ahora normalizando el vector w2 nos queda u2 = ˆ
( 2 , 7 , −3 ) 5 5 5
2 ( 5 , 7 ,−3 ) 5 5

5 5 √ 5 = ( 52√21 , 57√21 , −3 21 ) 5

√

√

√

Finalmente buscando el tercer vector, nos queda lo siguiente. w3 = (0, 2, 0) − v3 , u1 u1 − v3 , u2 u2 ˆ ˆ ˆ ˆ √ √ √ 5 5 1 √ √ 1 √ 5 ˆ w3 = (0, 2, 0) − (0, 2, 0), ( √5 , 5 , 15 ) u1 − (0, 2, 0), ( 52√21 , 57√21 , −3 21 ) u2 ˆ 5
5 √ 5 √ 5 w3 = (0, 2, 0) − 4 21 ( √5 , 57√21 , −3 21 ) 21 5 8 w3 = (0, 2, 0) − ( 21 , 28 , −12 ) 21 21 w3= ( −8 , 2 , 12 ) 21 3 21 √ √ √

y normalizando el tercer vector obtenemos u3 = ˆ
( −8 , 2 , 12 ) 21 3 21 ( −8 , 2 , 12 ) 21 3 21 −4 = ( √21 , √7 , √6 ) 21 21

Finalmente hemos encontrado nue ra base ortonormal con respecto a la base B que es
5 5 1 1 1 −4 ˆ √ 5 B = {ˆ1 , u2 , u3 } = ( √5 , √5 , √5 ), ( 52√21 , 57√21 , −3 21 ), ( √21 , √7 , √6 ) u ˆ ˆ 5 21 21 √ √ √

2. Considere (V, , ) unespacio euclideano. Pruebe que, dados x,y ∈ V se cumple que a) x = y si y solo si (x + y)⊥(x − y). 1 b) x, y = 2 ( x + y 2 − x 2 − y 2 ) Sol.: a) Debemos mo rar en un sentido y luego al contrario. ⇒| 2

Si x = y x = y /()2 ⇒ x 2= y 2 ⇒ x − y =0 ⇒ x, x − y, y = 0 ⇒ x, x − x, y + x, y − y, y = 0 ⇒ x, x − y + y, x − y, y = 0 ⇒ x, x − y + y, x − y = 0 ⇒ x + y, x − y = 0 Y sabemos que x, y = 0 e oimplica x⊥y Entonces concluimos que x + y⊥x − y ⇒| Si (x + y)⊥(x − y) entonces el producto interno entre esos vectores ortogonales es cero. x + y, x − y = 0 ⇒ x, x − y + y, x − y = 0 ⇒ x, x − x, y + y, x − y, y = 0 ⇒ x − x, y + x, y − y = 0 ⇒ x − y =0 ⇒ x = y Con lo que concluimos la proposición

b) Debemos probar lo siguiente

3

x, y x, y

= = = = = = = = =

1 ( x + y 2 − x 2 − y...