Área bajo la curva

Problema. Una persona utiliza a un canalón como medio para regar una parcela de hortalizas que se encuentra en una pequeña loma, al inicio el canalón tiene una sección transversal mayor que al final, sin embargo la forma de la sección transversal no se pierde. Enseguida se muestra la forma que tiene dicho canalón.
P2

En seguida se te presenta las secciones transversales con sus medidascorrespondientes, tanto del punto 1 como del punto 2.
0.5m

h (x) 1m

P1

1.5m

G(x)
f (x)

0.7m

1m F(x)

Determina el área de las dos secciones empleando las siguientes formulas. Para ello es importante que investigues quien es F ( x), G ( x), f ( x) y h( x) , así como los valores para (a, b, c y d) respetando las medidas que se te dan en cada caso.
A1 = ∫ (G ( x) − F ( x))dx
a bA2 = ∫ (h( x) − f ( x))dx
c

d

Antes de empezar entendamos cómo se obtiene la fórmula del Área 1 (A1) y el Área 2 (A2) correspondientes al área de cada cara del canalón, ubicadas en el punto 1 y punto 2. En cálculo integral se ha estudiado el concepto de área, por ejemplo, para hallar el área de un rectángulo, la región comprendida entre los lados, es cuestión de multiplicar la longitud delancho por largo de dicho rectángulo. Pero para el caso del área comprendida entre curvas tenemos que recurrir a técnicas diferentes; para nuestro caso técnicas de integración. ¿Cómo se logra? Consideremos un región delimitada por las rectas x=a, x=b, el semieje x positivo y la curva y=f(x), entonces procedemos a dividir el área en subintervalos iguales de longitud ∆x considerándolas como el anchode un rectángulo, con una altura igual a f(x). Ya que se forman varios rectángulos en esa región, lo que

www.maestronline.com

Servicio de asesoría y resolución de ejercicios

podemos hacer para hallar el área total es sumar cada uno de los rectángulos de base ∆x y alturas f(x). Pero si utilizamos pocos rectángulo implica que las bases de los rectángulos serán muy anchas de tal forma queel área calculada de la suma de todos los rectángulos no será un valor exacto (ver la gráfica de la derecha para notar que los rectángulos no logran acaparar el área total bajo la curva), entonces lo que se hace es hacer infinidad de rectángulos de tal forma que se haga más exacto el cálculo, método que se logra utilizando el concepto de la integral:

∫

b

a

f ( x) dx

Donde f(x)representa la altura y dx es el ancho de cada uno de los muy delgados rectángulos, el símbolo de integral representa una sumatoria empezando con la suma de rectángulos desde el punto x=a hasta el rectángulo final ubicado cerca del punto x=b.
541.1 m

315.7 m

Ahora en nuestro problema podemos ver que el área deseada está comprendida entre 2 curvas, F(x) y otra G(x), una de ellas es la función quedescribe una PARÁBOLA y la otra una LINEA RECTA horizontal que atraviesa el eje “Y” en un punto que pronto deduciremos. El problema radica en hallar dichas ECUACIONES o funciones y sus puntos donde se intersecan.

225.4 m

Analogía: Tal y como calculamos la diferencia que existe entre 2 alturas ya sea entre personas o edificios (figura arriba), restando la altura del punto MAYOR menos la alturadel punto MENOR así parecido calcularemos la altura de cada uno de nuestros rectángulos que se forman entre las 2 curvas que hemos dibujado como barras azules en la figura de la derecha

www.maestronline.com

Servicio de asesoría y resolución de ejercicios

El proceso se hace para todas y cada una de las barras que se pueden trazar dentro de la región, pero como habíamos mencionado que elconcepto de la INTEGRAL hace ese trabajo por nosotros por tratarse de una sumatoria de “infinitas barras delgadas” entonces solo resta indicarle a la integral qué región es la que necesitamos obtener el área. Si nos fijamos bien, el área azul que requerimos se encuentra entre la función que se traza en lo más alto (la función que describe la recta horizontal G(x)) y la función que delimita la...