Álgebra de boole y tecnología de computadores

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Álgebra de Boole y tecnología de computadores.

Básicamente, el algebra de Boole aplicado a circuitos (eléctricos y electrónicos), se usa para implementar los circuitos combinacionales, secuenciales, etc. Que sean necesarios mediante la creación e las llamadas funciones booleanas.
Como todo algebra de Boole, se define sobre una estructura algebraica, (B, +, · ), la cual cumple las siguientespropiedades:
* B es cerrado en cuanto a que está definido con la dos operaciones internas, +, y ·, es decir, al operar(+ ó ·) dos elementos de B, el resultado también está en B.
* Se verifica la existencia del elemento identidad(neutro), para las dos operaciones:
* X + 0 = X
* X · 1 = X
* Se cumple la propiedad conmutativa para ambas operaciones:
* X + Y = Y + X* X · Y = Y · X
* Se cumple también, la propiedad distributiva de una operación con la otra:
* X + (Y·Z) = (X+Y)· (X+Z)
* X · (Y+Z) = (X·Y) +(X· Z)
* Se verifica la existencia de complementario:
* X + X’ = 1
* X · X’ = 0
Además, a partir de estos postulados, se derivan otras propiedades, como el teorema de la dualidad (posibilidad de entre dosexpresiones booleanas de igualdad intercambiando las operaciones), la ley de idempotencia (cualquier expresión operada por si misma, es ella misma), la ley de involución (un elemento dos veces negado, queda igual que al principio), cumple la ley de absorción, las operaciones cumplen la propiedad asociativa, y se cumplen las leyes de Morgan (muy importante en el trabajo del tratamiento y simplificaciónde expresiones booleanas). Las leyes de Morgan se resumen estas expresiones(duales):
* (X + Y)’ = X’ · Y’
* (X · Y)’ = X’ + Y’
Sobre esta base, nos centramos en llamada álgebra de Boole bivalente o de conmutación, que es la utilizada en la teoría de circuitos.
De esta forma, se define un conjunto, B={0,1}, y las operaciones + y ·, definidas en la siguiente tabla:

X | Y | X + Y(X ˅ Y) | X · Y (X˄Y) | X | X’ |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 | | |
1 | 1 | 1 | 1 | | |

Sobre este álgebra de Boole es donde se trabajará mediante las llamadas funciones booleanas, que son las correspondencias entre Bn y B. Estas se representan básicamente de dos formas algebraicamente como suma de productos, o como producto de sumas:
Ej.:F(x,y,z) = xy + zx + zyz’ sup{ inf{x,y}, inf{z,x}, inf{x,y,z’} }
F(x,y,z) = (x+y+z)(x+z)
De esta forma, mediante estas expresiones, que pueden ser canónicas, normalizadas o incluso simplificadas, se implementan en circuitos de forma que un circuito consta de unas entradas (variables), y una salida (f, para cada función), a la que se aplica una serie de operaciones, las puertas lógicas.Las puertas lógicas más importantes que usan el álgebra de Boole son las siguientes:
* AND X | Y | F |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
| * OR X | Y | F |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
|
* NAND X | Y | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
| * NOR X | Y | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1| 1 | 0 |
|
* XOR X | Y | F |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
| * XNOR X | Y | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
|
* NOT X | F |
0 | 1 |
1 | 0 |
| * BUFFER X | F |
0 | 0 |
1 | 1 |
|

De esta forma, quedan definidas estas funciones, y somos capaces de implementar todas las funciones booleanas que puedan existir en(B,+,·). A niveles de integración más o menos altos, ya se utilizan circuitos mucho más complejos que los anteriores (que son de hecho subcircuitos de estos más complejos), como multiplexores, demultiplexores, decodificadores, codificadores, sumadores, contadores, registros, memorias, etc.

A continuación mostraremos un ejemplo de aplicación del algebra de Boole, en la teoría de circuitos. Un...
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