ÁLGEBRA LINEAL



4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

BASES Y DIMENSIÓN

DEFINICIÓN
Base Un conjunto finito de vectores v1, v2, . . ., vn es una base para un espaciovectorial V si
i v1, v2, . . ., vn es linealmente independiente
ii
iii v1, v2, . . ., vn genera V.

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente Rn es una base en Rn


EnRn se define









DEFINICIÓN
Dimensión.- Si el espacio vectorial V tienen una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llamaespacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se llama espacio de dimensión infinita. Si V = 0 , entonces se dice que V tiene dimensión cero.

EJEMPLO
La dimensión de Rn Como nvectores linealmente independientes en Rn constituye una base, se ve que
Dim Rn = n




Cambio de base
Sea x un vector que en base B1 (de vectores unitarios u1, u2, ...) será igual a m1u1+m2u2 + m3u3 + ... El mismo vector, utilizando otra base B2 (de vectores unitarios v1, v2, ...) será n1v1+ n2v2 + n3v3 + ...
Supongamos que u1, u2, ... se representan en la base B2 de esta forma:
u1= a11v1 + a21v2 + ... + an1vn
u2 = a12v1 + a22v2 + ... + an2vn
.............................................................
un = a1nv1 + a2nv2 + ... + annvn
Por lo tanto, sustituyendo estasecuaciones en la fórmula original nos queda:
x = m1(a11v1 + a21v2 + ... + an1vn ) +  m2(a12v1 + a22v2 + ... + an2vn) + ... 
Reordenando queda:
x = (m1a11 + m2a12 + ... + mna1n)v1 + ... + (m1an1 +m2an2 + ... + mnann)vn 
Comparando con la fórmula x = n1v1+ n2v2 + n3v3 + ... deducimos que:
n1 = m1a11 + m2a12 + ... + mna1n
n2 = m1a21 + m2a22 + ... + mna2n.................................................................
nn = m1ann + m2an2 + ... + mnann
Esto se puede expresar de forma matricial:
n1     a11 + a12 + ... + a1n       m1 
n2 = a21 + a22 + ... + a2n       m2 
.....   ...