06 Polinomios

Expresiones Algebraicas
•

•

Una expresión algebraica es una expresión en
la que se relacionan valores indeterminados con
constantes y cifras, todas ellas ligadas por un
número finito de operaciones de suma, resta,
producto, cociente, potencia y raíz.
Ejemplos

a ) x 2  2 xy
b) 2 x  y 2 x 3
x. y  2 x
c) 2
x 1
1

Tipos de Expresiones Algebraicas
Expresiones Algebraicas
Racionales
EnterasIrracionales

Fraccionarias

2

Expresión Algebraica Racional
•

Es racional cuando las variables no están
afectadas por la radicación

•

Ejemplo
2

2

x  x. y

3
2
2 y 1
3

Expresión Algebraica Irracional
•

Es irracional cuando las variables están
afectadas por la radicación

•

Ejemplo

x 2x y

4

Expr.Algebraica Racional Entera
•

Una expresión algebraicas es racional entera
cuando laindeterminada está afectada sólo
por operaciones de suma, resta,
multiplicación y potencia natural.

•

Ejemplo

2

4

x 3x y  y

5

5

Expresión Algebraica Racional
Fraccionaria
•

Una expresión algebraicas racional es
fraccionaria cuando la indeterminada aparece
en algún denominador.

•

Ejemplo

1
2
x y  3
x
6

Polinomios
•

Son las expresiones algebraicas más
usadas.

•

Sean a0, a1, a2,…, an números reales y n
un número natural, llamaremos polinomio
en indeterminada x a toda expresión
algebraica entera de la forma:

a0 + a1 x + a 2 x2 + … + a n xn
7

Ejemplos de polinomios
1 2
a) x
3
2 3
b) 3 x  x
3

2
c) 1   3
x
3
d ) 2  3x  5 x

A los polinomios en indeterminada x los
simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la
indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).
8Términos

•

Monomio : polinomio con un solo término.
Binomio : polinomio con dos términos.
Trinomio : polinomio con tres términos.

•

Cada monomio aixi se llama término.

•

El polinomio será de grado n si el término de mayor
grado es anxn con an0.

•

A a0 se lo llama término independiente.

•

A an se lo llama término principal.

•
•

9

Ejemplos

El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llamapolinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x).
No se le asigna grado.
10

Ejercicio
•

Indicar cuáles de las siguientes expresiones
algebraicas son polinomios. En este último caso
indicar su grado.

1 3
a)  x  2 x 1
3
b) ( x  2)( x  3)
4

3x  1
c)
2

d) x  2 5
2 1
e) x    3
x x
2
x  2x  3
f)
x 1
2

11

Polinomios iguales
•

Dos polinomios son iguales si y sólo si los
coeficientes delos términos de igual grado lo
son.

•

Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)

a ) P ( x) 2  5 x 3 ; Q( x) a  (a  b) x 3
b) P ( x)  5  ( 2  1) x  5 2 x 2
Q( x) a  (b  1) x  (c  2b) x 2
12

Suma de Polinomios
•

Para sumar dos polinomios se agrupan los
términos del mismo grado y se suman sus
coeficientes.

•

Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x+ 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

13

Propiedades de la Suma
•
•
•
•

Asociativa
Conmutativa
Existencia de elemento neutro
Existencia de elemento opuesto

14

Resta de Polinomios
•

Para restar el polinomio Q(x) del polinomio
P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de
Q(x).
P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]

•

Ejemplo: Restar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x -2
15

Multiplicación de Polinomios
•

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada
monomio de uno de ellos por cada uno de los
términos del otro y luego se suman los términos de
igual grado.

•

Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2

P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)
16

Propiedades del Producto
•
•
•Asociativa
Conmutativa
Existencia de elemento neutro.

17

Algunos productos importantes
•

(x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2

•

(x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2

•

(x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

•

(x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3

•

(x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2

18

Ejercicio
•

Escribir los desarrollos de

a) (2  3x)
2

2

d ) ( 2  3 x)

3 2

b) ( x  x )

 2 3 1 4
c)   x...