3 Ecuaci Ns Da Recta

ECUACIÓNS DA RECTA
1.- Aplicación dos vectores a problemas xeométricos:
a) Punto medio dun segmento.
b) Compoñentes dun vector que une dous puntos.
2.- Ecuacións da recta:
a) Ecuación vectorial.
b) Ecuacións paramétricas.
c) Ecuación continua.
d) Ecuación xeral ou implícita.
3.- Recta que pasa por dous puntos.
4.- Posición relativa de dúas rectas.
5.- Ecuación explícita. Pendente.
6.- Forma puntopendente da ecuación dunha recta.

1.- Aplicación dos vectores a problemas xeométricos:
a) Punto medio dun segmento.

Dados os puntos A(a1,a2) e B(b1,b2) que definen o segmento AB, vamos a ver como
podemos obter as coordenadas do punto M (punto medio do segmento AB):
As compoñentes do vector

OA coinciden coas coordenadas de A e polo tanto son

(a1,a2) ; do mesmo xeito as compoñentes do vector OBserán (b1,b2). Construíndo o
paralelogramo OASB vemos que:

OS  OA  AS  OA  OB  a1 , a2   b1 , b2   a1  b1 , a2  b2 
Dado que AB e
medio temos que:

OM 

OS son as diagonais dun paralelogramo e córtanse no seu punto

1
 a  b a  b2 
OS   1 1 , 2

2
2 
 2

E dado que as compoñentes do vector OM coinciden coas coordenadas do seu extremo M,
teremos que as coordenadas de M,punto medio do segmento AB, serán

 a  b a  b2 
M 1 1 , 2

2 
 2

b) Compoñentes dun vector que une dous puntos.

Dados os puntos A(a1,a2) e (b1,b2), vamos a calcular as compoñentes do vector
Observando a figura vemos que

AB .

OA  AB  OB  AB  OB  OA  (b1 , b2 )  (a1 , a2 )  (b1  a1 , b2  a2 ) 

AB  (b1  a1 , b2  a2 )
2.- Ecuacións da recta.
Hai infinitas rectas que pasan porun punto, pero todas teñen direccións diferentes. Pero
dado un punto A(a1 , a2 ) so hai unha recta que pase por el e teña unha dirección dada.


 Fixado un punto A e un vector u unicamente a

recta r pasa por A e ten a dirección de u

Por tanto, unha recta queda perfectamente determinada se coñecemos un punto e un
vector que teña a dirección da recta (denomínase vector director).
Agoraplantéxansenos dous problemas:
1. Dado un punto calquera P, como podemos saber se está sobre r?
2. Como podemos calcular máis puntos de r?
Para poder contestar ás dúas preguntas anteriores temos que atopar unha ecuación que a
verifiquen todos os puntos da recta e que non a verifique ningún punto que estea fóra dela.

a) Ecuación vectorial.
Coñecido o punto


A(a1 , a2 ) e o vector director u  (u1 , u 2) , collemos un punto calquera P(x,y)
que estea na recta r e temos que o vector AP

loxicamente ten a dirección de u e polo tanto é
un múltiplo del, é dicir:

AP  t u, para algún tєR

Na figura vemos que

OP  OA  AP , e polo tanto


OP  OA  t u

ECUACIÓN VECTORIAL
A esta igualdade de vectores expresada da forma anterior ou mediante as súas
compoñentes: (x,y) = (a1 , a 2 ) + t (u1 , u 2 ) ,chámaselle ECUACIÓN VECTORIAL DA RECTA.
Deste xeito dado un punto calquera P’(x’,y’), estará na recta se hai algún tєR para o que se
cumpre a ecuación (x’,y’)= (a1 , a 2 ) + t (u1 , u 2 ) ;
E se queremos calcular mais puntos desa recta obterémolos dándolle valores a tєR,
substituíndo o seu valor na ecuación vectorial e operando.
b) Ecuacións paramétricas.
A partir da ecuación vectorial eigualando compoñentes chegamos as denominadas
ecuacións paramétricas:

 x  a1  tu1
( x, y)  (a1 , a2 )  t (u1 , u 2 )  
 y  a 2  tu 2
x  a1  tu1
y  a 2  tu 2

ECUACIÓNS PARAMÉTRICAS

c) Ecuación continua.
Dado que t para cada punto da recta ten que ser o mesmo, se despexamos o seu valor
nas dúas ecuacións e igualamos, temos a denominada ecuación contínua:

t

x  a1
y  a2
;t 
u1
u2
x  a1y  a2

u1
u2

ECUACIÓN CONTINUA

d) Ecuación xeral ou implícita.
Facendo operacións na ecuación continua e pasando todo ó primeiro membro para igualar
a cero obtense a ecuación xeral ou implícita:

( x  a1 )u 2  ( y  a 2 )u1
xu 2  a1u 2  yu1  a 2 u1
u 2 x  u1 y  a 2 u1  a1u 2  0

 A  u2

Chamando:  B  u1
C  a u  a u
2 1
1 2

Ax  By  C  0

esta ecuación vai a ter a...