7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS

III.3 Distribuciones Continuas.
Distribución Normal.
Uno de los más importantes ejemplos de probabilidad continua es la distribución Normal, cuya curva normal o distribución de Gauss tiene las siguientes características:
a)   Es simétrica con respecto a su eje vertical.
b)  Es asintótica con respecto a su eje horizontal; esto quiere decir que jamás va a tocar el eje de las equis.
c)   Elárea total bajo la curva es 1.
d)   Sí sumamos a    , se observará que aproximadamente el 68.26% de los       datos se encuentran bajo la curva,  si sumamos a   2, el 95.44% de los datos estará entre esos límites y si sumamos a   3, entonces el 99.74% de los datos caerá dentro de esos límites. Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datos que seanalizan tienen una distribución Normal; ya que para trabajar los datos con esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de no hacerlo, las decisiones que en un momento dado se tomarán de un análisis de los datos con la distribución Normal, serían erróneas.

¿Cómo se determinan probabilidades con la distribución Normal?
lo que se hace es tipificar el valor de lavariable x, esto es, x se transforma en un valor de z, de la siguiente manera:
                                         
Este valor de z es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la probabilidad requerida. La tabla que es usada para calcular las probabilidades es la que nos da el área que se muestra a continuación:171450022923500
O sea que el valor se z buscado nos dará la probabilidad acumulada hasta la línea anaranjada.
Ejemplo 1.
El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en California (TransportationEngineering Journal, Noviembre de 2008) se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y  una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada?
33147004699000225742515938500
Solución:
 = 0.635 pulgadas
= 0.082 pulgadas
x = 7/16

Consultando las tablas de distribución Normal:
p(z = -2.41) = 0.0080
125730034290000457200148590000
Por tanto, 0.008 x 100% = 0.8% de los recubrimientos de mortero tienen un espesor menor de 7/16 pulgadas.
Ejemplo 2.
Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida Normalmente, con una media de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Uncompetidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se puede insertar en los receptáculos de lámparas incandescentes. El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duración distribuida Normalmente con una media de 7,500 horas y una desviación estándar de 1,200 horas.
a) ¿Cuál tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duración mayor de 9,000horas?
1371600293370Área que nos da la tabla
00Área que nos da la tabla
b) ¿Cuál tubo tiene mayor probabilidad de tener una duración de menos de 5,000 horas?
19431001543050032004004000500
24003008445500445770082550Área que nos interesa
00Área que nos interesa
22860008255000Solución:
25527005143500
4000500596900028575005969000a) Tubo 1. (fabricante)
320040010414000
x = 9000 horas34290003492500 = 7,000 horas
283845017208500 = 1,000 horas

De la tabla de distribución Normal con z=2.00 nos da una probabilidad de 0.9772, pero esta probabilidad es la acumulada, o sea del lado izquierdo de la gráfica (líneas color guinda), entonces para determinar el área de la derecha tenemos que restar el área total bajo la curva (que es 1) menos la probabilidad que nos dio la tabla,...